feat: update at 2024/05/15 00:13

pages/曲面积分.md

@@ -0,0 +1,15 @@
+type:: note
+tags:: Mathematics, Calculus, Function, Integral
+
+- **第一类曲面积分**
+	- **定义**
+		- 设 $S$ 是的光滑曲面， $f(x,y,z)$ 在 $S$ 上有界。
+		- 将 $S$ 分为 $\Delta \sigma_1,\Delta \sigma_2,\dots,\Delta \sigma_n$ ，对于第 $i$ 段任取 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ ，设 $\lambda=\max\limits_{i=1}^n\{d(\Delta \sigma_i)\}$ 。
+		- 如果以下极限存在且为一个数，则将其称为 $f(x,y,z)$ 在 $s$ 上的第一类曲面积分：
+		  $$
+		  \iint_Sf(x,y,z)\mathrm d\sigma:=\lim_{\lambda\to+\infty}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i
+		  $$
+		- 如果 $L$ 是一条闭合曲线，则记作
+		  $$
+		  \oiint_L f(x,y,z)\mathrm d\sigma
+		  $$

pages/简谐振动.md

@@ -58,4 +58,53 @@ tags:: Physics
 	- **复摆**
 		- $$
 		  \omega=\sqrt{\frac{mgh}{J}}\iff T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgh}}
-		  $$
+		  $$
+- **简谐振动的能量**
+	- **瞬时值**
+		- 动能：
+		  $$
+		  E_{\mathrm k}=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t+\varphi)=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\varphi)
+		  $$
+		- 势能：
+		  $$
+		  E_{\mathrm p}=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t+\varphi)=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi)
+		  $$
+		- 动能和势能的角频率是 $2\omega$。
+		- 机械能：
+		  $$
+		  E=E_{\mathrm k}+E_{\mathrm p}=\frac{1}{2}kA^2
+		  $$
+	- **平均值**
+		- $$
+		  \bar{E}_{\mathrm k}=\frac{1}{2}E=\bar{E}_{\mathrm p}=\frac{1}{4}kA^2
+		  $$
+		- 系统确定时（$\omega$ 一定），能量与振幅的平方成正比
+		  $$
+		  A=\sqrt{\frac{2E}{k}}
+		  $$
+	- **能量方法推导简谐振动**
+		- 对于系统的机械能满足：
+		  $$
+		  E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\mathrm{constant}
+		  $$
+		- 对于以上方程对 $t$ 求导：
+		  $$
+		  mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}+kx\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0\iff \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+\omega^2x=0
+		  $$
+- **简谐振动的合成**
+	- **同方向同频率合成**
+		- 一个质点同时参与两个简谐振动 $x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1),x_2=\cos(\omega t+\varphi_2)$。
+		- 合成的运动仍然是简谐振动，并且有
+		  $$
+		  A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}
+		  $$
+		  $$
+		  \varphi=\arctan\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}
+		  $$
+		- 同时可以利用旋转矢量的合成来求解。一般使用这种方法。
+		- 当 $\varphi_2-\varphi_1=2k\pi$ 时，振幅最大，当 $\varphi_2-\varphi_1=(2k+1)\pi$ 时，振幅最小。
+	- **同方向不同频率合成**
+		- 一个质点同时参与两个简谐振动 $x_1=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1),x_2=\cos(\omega_2 t+\varphi_2)$。
+		- 此时合运动不是简谐振动，振幅不断加强和减弱，$\omega=|\omega_1-\omega_2|$。
+		- 当 $\omega_1,\omega_2$ 都很大并且很接近时，振幅的强弱变化就会缓慢，这种现象称为拍。
+		- 拍频 $\nu=|\nu_1-\nu_2|$ 表示 振幅的强弱变化的频率。