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feat: update at 2024/05/21 22:13
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@oosquare
oosquare committed May 21, 2024
1 parent 194c71a commit 642247a
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38 changes: 31 additions & 7 deletions pages/曲面积分.md
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Expand Up @@ -24,7 +24,7 @@ tags:: Mathematics, Calculus, Function, Integral
$$
- 同样可以定义对 $x,y$ 的曲面积分。合并后
$$
\iint_S X(x,y,z)\mathrm dy\mathrm dz+Y(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dz+Z(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S \bm F(x,y,z)\cdot \mathrm d\bm s
\iint_S X(x,y,z)\mathrm dy\mathrm dz+Y(x,y,z)\mathrm dz\mathrm dx+Z(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S \bm F(x,y,z)\cdot \mathrm d\bm s
$$
- 第二类曲面积分需要指定是对于曲面的哪一侧积分。
- 对于闭合曲面，默认在外侧。
Expand All @@ -37,16 +37,16 @@ tags:: Mathematics, Calculus, Function, Integral
- **统一计算法**
- 对于曲面 $S:f(x,y,z)=0$：
$$
\iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dx\mathrm dz+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S \left[X\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)+Y\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right)+Z\right]\mathrm dx\mathrm dy
\iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dz\mathrm dx+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S \left[X\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)+Y\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right)+Z\right]\mathrm dx\mathrm dy
$$
- **两类曲面积分的关系**
- $$
\iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dx\mathrm dz+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S (X\cos\alpha+Y\cos\beta+Z\cos\gamma)\mathrm dS
\iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dz\mathrm dx+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iint_S (X\cos\alpha+Y\cos\beta+Z\cos\gamma)\mathrm dS
$$
- **高斯公式**
- 设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $S$ 围成，$X,Y,Z$ 在 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数，则：
- 设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $S$ 围成，$X,Y,Z$ 在 $\Omega$ 上有一阶连续[[偏导数]]，则：
$$
\oiint_{S^+} X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dx\mathrm dz+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz
\oiint_{S^+} X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dz\mathrm dx+Z\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz
$$
- $S$ 取外侧。
- 使用时注意被积分的三项的顺序。
Expand All @@ -56,7 +56,7 @@ tags:: Mathematics, Calculus, Function, Integral
- **通量**
- 设向量场 $\bm A=(X,Y,Z)$，$S$ 为向量场中的曲面，则通过 $S$ 的一侧通量为
$$
\Phi:=\iint_S \bm A\cdot\mathrm d\bm S=\iint_S \bm A\cdot\bm n\mathrm dS=\iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dx\mathrm dz+Z\mathrm dx\mathrm dy
\Phi:=\iint_S \bm A\cdot\mathrm d\bm S=\iint_S \bm A\cdot\bm n\mathrm dS=\iint_S X\mathrm dy\mathrm dz+Y\mathrm dz\mathrm dx+Z\mathrm dx\mathrm dy
$$
- 对于封闭曲面 $S$，穿过 $S$ 的外侧的通量为
$$
Expand All @@ -72,4 +72,28 @@ tags:: Mathematics, Calculus, Function, Integral
- 高斯公式也可以表示为
$$
\oiint_{S^+}\bm A\cdot\mathrm d\bm S=\iiint_V\operatorname{div}\bm A\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz
$$
$$
- **斯托克斯公式**
- 设 $L$ 为分片光滑的空间有向闭曲线，$S$ 是以 $L$ 为边界的分片光滑的有向曲面，$L$ 的正向与 $S$ 的侧符合右手螺旋定则。
- 设 $X,Y,Z$ 在包含 $S$ 内的空间区域内有一阶连续[[偏导数]]，则
$$
\oint_L X\mathrm dx+Y\mathrm dy+Z\mathrm dz=
\iint_S\begin{vmatrix}
\mathrm dy\mathrm dz & \mathrm dz\mathrm dx & \mathrm dx\mathrm dy \\
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}
=\iint_S\begin{vmatrix}
\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
X & Y & Z \\
\end{vmatrix}\mathrm dS
$$
- **环流量和旋度**
- **环流量**
-
- **空间曲线积分与路径无关条件**
- 空间曲线积分 $\oint_L X\mathrm dx+Y\mathrm dy+Z\mathrm dz$ 在与路径无关的充要条件是
$$
\frac{\partial Z}{\partial y}=\frac{\partial Y}{\partial z},\frac{\partial X}{\partial z}=\frac{\partial Z}{\partial x},\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial X}{\partial y}
$$
76 changes: 75 additions & 1 deletion pages/波动.md
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Expand Up @@ -53,4 +53,78 @@ tags:: Physics
- 如果已知波源位于 $x_0$，则波函数为
$$
y=A\cos\left(\omega\left(t-\frac{|x-x_0|}{u}\right)+\varphi\right)
$$
$$
- **能量**
- 对于密度为 $\rho$ 的介质中的一个质点 $\mathrm dV$，其动能和势能为
$$
\mathrm dE_{\mathrm k}=\mathrm dE_{\mathrm p}=\frac{1}{2}\rho\mathrm dV\omega^2A^2\sin^2\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
$$
- 总能量为
$$
\mathrm dE=\mathrm dE_{\mathrm k}+\mathrm dE_{\mathrm p}=\rho\mathrm dV\omega^2A^2\sin^2\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
$$
- 定义能量密度为
$$
w:=\frac{\mathrm dE}{\mathrm dV}=\rho\omega^2A^2\sin^2\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)
$$
- 定义平均能量密度为一个周期内能量密度对时间的平均值：
$$
\bar{\omega}:=\frac{1}{T}\int_0^T\omega\mathrm dt=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2
$$
- **能流**
- 定义能流为波在单位时间内传递过介质一个垂直传播方向的截面 $S$ 的能量：
$$
P:=uSw
$$
- 定义平均能流或平均功率：
$$
\bar P:=uS\bar w=\frac{1}{2}\rho Su\omega^2A^2
$$
- 能流和平均能流的单位为 $\mathrm W$。
- 定义平均能流密度 / 强度：
$$
I:=\frac{\bar P}{S}=u\bar w=\frac{1}{2}\rho u\omega^2A^2
$$
- 平均能流密度的单位为 $\mathrm{W/m^2}$。
- **波的叠加**
- **叠加原理**
- 同一介质中，不同波源产生的波无论是否相遇，都会保持原有的振幅、频率、波长等性质传播，互不影响。
- 波的叠加原理适用于机械波、电磁波、概率波，不适用于强度太大的波。
- **干涉**
- **定义**
- 两个或几个波满足频率相同、相位差恒定、振动方向相同时，称为相干波。
- 相干波可以发生干涉。
- 设有两个波源 $S_1,S_2$，振动表达式为 $y_{10}=A_1\cos(\omega t+\varphi_{10}),y_{20}=A_2\cos(\omega t+\varphi_{20})$。
- 设空间中一点 $P$，到 $S_1,S_2$ 距离为 $r_1,r_2$，两个波在 $P$ 的分振动为 $y_1=A_1\cos(\omega t-2\pi\frac{r_1}{\lambda}+\varphi_{10}),y_2=A_2\cos(\omega t-2\pi\frac{r_2}{\lambda}+\varphi_{20})$。
- 则叠加后的强度为
$$
I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi
$$
$$
\Delta\varphi=\varphi_{20}-\varphi_{10}-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda}
$$
- **特殊情况**
- 振动加强：
- 当 $\Delta\varphi=2k\pi$ 时，$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}$。
- 如果 $\varphi_{10}=\varphi_{20}$，则条件简化为 $\delta=r_2-r_1=k\lambda$。
- 振动减弱：
- 当 $\Delta\varphi=(2k+1)\pi$ 时， $I=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}$ 。
- 如果 $\varphi_{10}=\varphi_{20}$ ，则条件简化为 $\delta=r_2-r_1=\frac{2k+1}{2}\lambda$ 。
- **驻波**
- **定义**
- 波源发出的波向正方向传递，经过反射产生负方向传递的波，一定条件下，两者叠加形成驻波。
- 设入射波的函数为 $y_1=A\cos(\omega t-2\pi\frac{x}{\lambda}),y_2=A\cos(\omega t+2\pi\frac{x}{\lambda})$，则叠加后为
$$
y=2A\cos 2\pi\frac{x}{\lambda}\cos\omega t
$$
- **性质**
- 驻波中，每一质点的振幅与 $x$ 相关，为 $2A\cos 2\pi\frac{x}{\lambda}$，振幅最大处为波腹，为零处为波节。
- 每一段中的振动相位相同，相邻段反相。
- 如果 $2A\cos 2\pi\frac{x}{\lambda}>0$，则这一段的相位为 $\omega t$，否则为 $\omega t+\pi$。
- 相邻的波腹或波节距离为 $\frac{\lambda}{2}$。
- 当各质点位移最大时，动能为零，势能最大，其中在波节附近。当各质点位移为零时，势能为零，动能最大，其中在波腹附近。
- **半波损失**
- 对于机械波，两种介质中，特性阻抗 $Z=\rho u$ 较大的为波密介质，较小的波疏介质。
- 波由波疏介质入射到波密介质上发生反射时，反射波相位会变化 $\pi$，即变化了半个波长。
- 由波密介质入射到波疏介质上不发生半波损失。
- 对于电磁波，也存在半波损失。发生条件类似，折射率大的为光密介质，小的为光疏介质。

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