-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
Commit
This commit does not belong to any branch on this repository, and may belong to a fork outside of the repository.
- Loading branch information
1 parent
a858644
commit 8428826
Showing
6 changed files
with
227 additions
and
18 deletions.
There are no files selected for viewing
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,208 @@ | ||
| % !TEX root = ../main.tex | ||
|
|
||
| У цьому розділі буде наведено виведення законів розподілу, що застосовуються | ||
| в задачах математичної статистики, та їх числових характеристик. | ||
|
|
||
| \section{Розподіл \texorpdfstring{$\chi^2$}{x2} (Пірсона)} | ||
| \noindent\textbf{Означення:} | ||
| нехай $\xi_k \sim \mathrm{N}(a_k, \sigma_k)$, $k= 1,..., n$ --- незалежні у сукупності. | ||
| Тоді $\xi = \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{\xi_k - a_k}{\sigma_k}\right)^2$ має | ||
| розподіл \emph{$\chi^2$ (хі-квадрат, Пірсона) з $n$ ступенями вільності}. | ||
|
|
||
| \noindent$\mathring{\xi}_{k} = \frac{\xi_k - a_k}{\sigma_k} \sim \mathrm{N}(0, 1)$, тому можна ще записати | ||
| $\xi = \sum\limits_{k=1}^n (\mathring{\xi}_{k})^2$. | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Коротке позначення:} $\xi \sim \chi_n^2$, $n\in\mathbb{N}$ --- кількість ступенів вільності. | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Щільність розподілу:} | ||
| відомо, що якщо $\eta \sim \mathrm{N}(0, 1)$, то $\eta^2 \sim \Gamma\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. | ||
| Гамма-розподіл стійкий при $\beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_n$, $\mathring{\xi}_{k}$ незалежні у сукупності, | ||
| тому $\xi = \sum\limits_{k=1}^n (\mathring{\xi}_{k})^2 \sim \Gamma\left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}\right) = \chi_n^2$. | ||
| \begin{equation*} | ||
| f_{\chi_n^2}(x) = \begin{cases} | ||
| \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}, & x \geq 0 \\ | ||
| 0, & x < 0 | ||
| \end{cases} | ||
| \end{equation*} | ||
|
|
||
| \noindent \textbf{Крива розподілу:} графіки для різних значень $n$. | ||
|
|
||
| \begin{tikzpicture}[yscale = 12, xscale = 0.5, baseline={(current bounding box.center)}] | ||
| \pgfmathsetmacro{\a}{2}; | ||
| \pgfmathsetmacro{\b}{0.5}; | ||
| \pgfmathsetmacro{\c}{3}; | ||
| \pgfmathsetmacro{\d}{4}; | ||
|
|
||
| \draw [->] (-2, 0) -- (18.3, 0); | ||
| \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.2); | ||
| \draw [thick] (-2, 0) -- (0, 0); | ||
| \draw [domain=0:18, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\b^(\a)*\x^(\a-1)/factorial(\a-1) * e^(-\x*\b)}); | ||
| \draw [domain=0:18, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\b^(\c)*\x^(\c-1)/factorial(\c-1) * e^(-\x*\b)}); | ||
| \draw [domain=0:18, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\b^(\d)*\x^(\d-1)/factorial(\d-1) * e^(-\x*\b)}); | ||
| \node [below] at (18.2, 0) {$x$}; | ||
| \node [left] at (0, 0.2) {$f_{\chi_n^2}(x)$}; | ||
| \node [below left] at (0, 0) {$0$}; | ||
| \end{tikzpicture} | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Числові характеристики:} | ||
| \begin{enumerate} | ||
| \item $E\chi_n^2 = \frac{n/2}{1/2} = n$. | ||
| \item $D\chi_n^2 = \frac{n/2}{1/4} = 2n$. | ||
| \end{enumerate} | ||
|
|
||
| \section{Розподіл \texorpdfstring{$\chi$}{x}} | ||
| \noindent\textbf{Означення:} нехай випадкова величина $\xi$ має розподіл $\chi_n^2$. | ||
| Тоді $\eta = \sqrt{\xi}$ має розподіл | ||
| \emph{$\chi$ (хі) з $n$ ступенями вільності}. | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Коротке позначення:} $\eta \sim \chi_n$, $n\in\mathbb{N}$ --- кількість ступенів вільності. | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Щільність розподілу:} скористаємося формулою для визначення щільності розподілу функції від | ||
| випадкової величини. $\eta = \sqrt{\xi}$, тому позначимо $\varphi(x) = \sqrt{x}$, $\varphi^{-1}(y) = y^2$, | ||
| $\left( \varphi^{-1}(y) \right)^{\prime} = 2y$. | ||
| \begin{equation*} | ||
| f_{\chi_n}(y) = f_{\chi_n^2}\left(\varphi^{-1} (y)\right) \cdot \left|\left(\varphi^{-1} (y) \right)^{\prime}\right| = | ||
| f_{\chi_n^2}(y^2) \cdot 2y = | ||
| \begin{cases} | ||
| \frac{1}{2^{\frac{n}{2} - 1} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{n-1} e^{-\frac{y^2}{2}}, & y \geq 0 \\ | ||
| 0, & y < 0 | ||
| \end{cases} | ||
| \end{equation*} | ||
| \noindent\textbf{Числові характеристики:} | ||
| \begin{enumerate} | ||
| \item $E\chi_n = \sqrt{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$. | ||
| \item $D\chi_n = n - \left( E\chi_n \right)^2$. | ||
| \end{enumerate} | ||
|
|
||
| \begin{remark} | ||
| Нескладно помітити, що $\chi_2$ --- це розподіл Релея. | ||
| \end{remark} | ||
|
|
||
| \noindent Знайдемо ще розподіл $\zeta = \frac{\chi_n}{\sqrt{n}}$. $\varphi(y) = \frac{y}{\sqrt{n}}$, | ||
| $\varphi^{-1}(z) = z \sqrt{n}$, | ||
| $\left( \varphi^{-1}(z) \right)^{\prime} = \sqrt{n}$. | ||
|
|
||
| \begin{equation*} | ||
| f_{\frac{\chi_n}{\sqrt{n}}}(z) = f_{\chi_n}\left(\varphi^{-1} (z)\right) \cdot \left|\left(\varphi^{-1} (y) \right)^{\prime}\right| = | ||
| f_{\chi_n}(z \sqrt{n}) \cdot \sqrt{n} = | ||
| \begin{cases} | ||
| \frac{n^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2} - 1} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} z^{n-1} e^{-\frac{nz^2}{2}}, & z \geq 0 \\ | ||
| 0, & z < 0 | ||
| \end{cases} | ||
| \end{equation*} | ||
| \begin{exercise} | ||
| Записати числові характеристики випадкової величини, що має розподіл $\frac{\chi_n}{\sqrt{n}}$. | ||
| \end{exercise} | ||
|
|
||
| \section{Розподіл Стьюдента (\texorpdfstring{$t$}{t}-розподіл)} | ||
| \noindent\textbf{Означення:} якщо $\xi \sim \mathrm{N}(0, 1)$ та $\eta \sim \frac{\chi_n}{\sqrt{n}}$ незалежні, | ||
| то $\zeta = \frac{\xi}{\eta} = \frac{\xi}{\chi_n /\sqrt{n}}$ має \emph{розподіл Стьюдента з $n$ ступенями вільності}. | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Коротке позначення:} $\zeta \sim \mathrm{St}_n$, $n\in\mathbb{N}$ --- кількість ступенів вільності. | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Щільність розподілу:} скористаємося формулою для визначення щільності розподілу частки | ||
| двох незалежних НВВ. | ||
| \begin{gather*} | ||
| f_{\mathrm{St}_n} (z) = \int\limits_0^{+\infty} x f_{\xi}(z x) f_{\frac{\chi_n}{\sqrt{n}}} (x) dx = | ||
| \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{n^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2} - 1} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} | ||
| \int\limits_0^{+\infty} x e^{-\frac{z^2 x^2}{2}} x^{n-1} e^{-\frac{nx^2}{2}} dx = \\ | ||
| = \frac{n^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\pi} 2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} | ||
| \int\limits_0^{+\infty} x^n e^{-\frac{x^2}{2}(z^2+n)} dx = | ||
| \left[ \frac{x^2}{2} (z^2 + n) = t, x = \frac{\sqrt{2} \sqrt{t}}{\sqrt{z^2 + n}}, | ||
| dx = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{z^2 + n}} \frac{dt}{\sqrt{t}}\right] = \\ | ||
| = \frac{n^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\pi} 2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \cdot | ||
| \frac{2^{\frac{n}{2}}}{(z^2 + n)^{\frac{n}{2}}} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}(z^2 + n)^{\frac{n}{2}}} | ||
| \int\limits_0^{+\infty} t^{\frac{n-1}{2}} e^{-t} dt = | ||
| \frac{n^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \cdot | ||
| \frac{1}{(z^2 + n)^{\frac{n+1}{2}}}, \; z \in \mathbb{R} | ||
| \end{gather*} | ||
| \noindent \textbf{Крива розподілу:} графіки для різних значень $n$, називаються \emph{кривими Стьюдента}. | ||
| Вони схожі на криву гауссівського розподілу, але повільніше прямують до 0 на нескінченності. | ||
|
|
||
| \begin{tikzpicture}[yscale = 6, xscale = 1.3, baseline={(current bounding box.center)}] | ||
| \pgfmathsetmacro{\a}{1}; % n = 2 | ||
| \pgfmathsetmacro{\b}{12}; % n = 4 | ||
| \pgfmathsetmacro{\c}{0.318309886184}; % n = 1 | ||
|
|
||
| \draw [->] (-5, 0) -- (5, 0); | ||
| \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.4); | ||
| \draw [domain=-5:5, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\a/((2+(\x)^2)^((2+1)/2))}); | ||
| \draw [domain=-5:5, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\b/((4+(\x)^2)^((4+1)/2))}); | ||
| \draw [domain=-5:5, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\c/((1+(\x)^2)^((1+1)/2))}); | ||
| \node [below] at (5.2, 0) {$x$}; | ||
| \node [left] at (0, 0.4) {$f_{\mathrm{St}_n}(x)$}; | ||
| \node [below left] at (0, 0) {$0$}; | ||
| \end{tikzpicture} | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Числові характеристики:} | ||
| \begin{enumerate} | ||
| \item $E\mathrm{St}_n = 0$. | ||
| \item $D\mathrm{St}_n = \frac{n}{n-2}$, $n>2$. | ||
| \end{enumerate} | ||
|
|
||
| \begin{remark} | ||
| Нескладно помітити, що $\mathrm{St}_1$ --- це розподіл Коші. | ||
| \end{remark} | ||
|
|
||
| \section{Розподіл Фішера-Снедекора (\texorpdfstring{$F$}{F}-розподіл)} | ||
| \noindent\textbf{Означення:} випадкова величина $\eta = \frac{\chi_{n_1}^2/n_1}{\chi_{n_2}^2/n_2}$, чисельник | ||
| та знаменник якої незалежні, має \emph{розподіл Фішера-Снедекора з $n_1$, $n_2$ ступенями вільності}. | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Коротке позначення:} $\eta \sim \mathrm{F}(n_1, n_2)$, $n_1, n_2\in\mathbb{N}$ --- кількість ступенів вільності. | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Щільність розподілу:} скористаємося формулою для визначення щільності розподілу частки | ||
| двох незалежних НВВ. Нагадаємо, що | ||
| $f_{\chi_n^2}(x) = \begin{cases} | ||
| \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}, & x \geq 0 \\ | ||
| 0, & x < 0 | ||
| \end{cases}$. | ||
|
|
||
| \noindentТоді $f_{\chi_n^2/n}(y) = f_{\chi_n^2}(n y) \cdot n = | ||
| \begin{cases} | ||
| \frac{n^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{ny}{2}}, & y \geq 0 \\ | ||
| 0, & y < 0 | ||
| \end{cases}$. | ||
|
|
||
| \begin{gather*} | ||
| f_{\mathrm{F}(n_1, n_2)} (z) = \int\limits_0^{+\infty} x f_{\chi_{n_1}^2/n_1}(zx) f_{\chi_{n_2}^2/n_2}(x) dx = \\ | ||
| = \frac{n_1^{\frac{n_1}{2}} n_2^{\frac{n_2}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} | ||
| \int\limits_0^{+\infty} x z^{\frac{n_1}{2} - 1} x^{\frac{n_1}{2} - 1} e^{-\frac{n_1 zx}{2}} x^{\frac{n_2}{2} - 1} e^{-\frac{n_2 x}{2}} dx = \\ | ||
| = \frac{n_1^{\frac{n_1}{2}} n_2^{\frac{n_2}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot | ||
| z^{\frac{n_1}{2} - 1} \int\limits_0^{+\infty} x^{\frac{n_1 + n_2}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}(n_1 z + n_2)} dx = | ||
| \left[ \frac{x}{2}(n_1 z + n_2) = t, x = \frac{2t}{n_1 z + n_2}\right] = \\ | ||
| = \frac{n_1^{\frac{n_1}{2}} n_2^{\frac{n_2}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot | ||
| z^{\frac{n_1}{2} - 1} \cdot 2^{\frac{n_1+n_2}{2}} \cdot \frac{1}{(n_1 z + n_2)^{\frac{n_1+n_2}{2}}} | ||
| \int\limits_0^{+\infty} t^{\frac{n_1+n_2}{2} - 1} e^{-t} dt = \\ | ||
| = n_1^{\frac{n_1}{2}} n_2^{\frac{n_2}{2}} \frac{\Gamma\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot | ||
| \frac{z^{\frac{n_1}{2} - 1}}{(n_1 z + n_2)^{\frac{n_1+n_2}{2}}}, \; z \geq 0 \text{ та } 0 \text{ інакше}. | ||
| \end{gather*} | ||
|
|
||
| \noindent \textbf{Крива розподілу:} графіки для різних значень $n_1$, $n_2$, називаються \emph{кривими Фішера}. | ||
|
|
||
| \begin{center} | ||
| \begin{tikzpicture}[yscale = 6, xscale = 3, baseline={(current bounding box.center)}] | ||
| \pgfmathsetmacro{\a}{3.30797337253}; % n1 = 3, n2 = 1 | ||
| \pgfmathsetmacro{\b}{64}; % n1 = 4, n2 = 2 | ||
| \pgfmathsetmacro{\c}{68.7549354157}; % n = 1 | ||
|
|
||
| \draw [->] (-0.5, 0) -- (4, 0); | ||
| \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.7); | ||
| \draw [domain=0:4, smooth, variable = \x, thick, samples = 200] plot ({\x}, {\a*((\x)^(3/2 - 1))/(3*\x + 1)^((3+1)/2)}); | ||
| \draw [domain=0:4, smooth, variable = \x, thick, samples = 400] plot ({\x}, {\b*((\x)^(4/2 - 1))/(4*\x + 2)^((4+2)/2)}); | ||
| \draw [domain=0:4, smooth, variable = \x, thick, samples = 200] plot ({\x}, {\c*((\x)^(3/2 - 1))/(3*\x + 3)^((3+3)/2)}); | ||
| \node [below] at (4, 0) {$x$}; | ||
| \draw [thick] (-0.5, 0) -- (0, 0); | ||
| \node [left] at (0, 0.7) {$f_{\mathrm{F}(n_1, n_2)}(x)$}; | ||
| \node [below left] at (0, 0) {$0$}; | ||
| \end{tikzpicture} | ||
| \end{center} | ||
|
|
||
| \noindent\textbf{Числові характеристики:} | ||
| \begin{enumerate} | ||
| \item $E\mathrm{F}(n_1, n_2) = \frac{n_2}{n_2 - 2}$, $n_2 > 2$. | ||
| \item $D\mathrm{F}(n_1, n_2) = \frac{2 n_2^2 (n_1 + n_2 - 2)}{n_1 (n_2 - 2)^2 (n_2 -4)}$, $n_2>4$. | ||
| \end{enumerate} | ||
|
|
||
| \begin{remark} | ||
| Якщо $\eta \sim \mathrm{F}(n_1, n_2)$, то $\frac{1}{\eta} \sim \mathrm{F}(n_2, n_1)$. | ||
| \end{remark} |
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters