Laboratorium Specjalistyczne: rezonans stochastyczny

Mateusz Kaczorek, Dominik Stańczak

Problem

Rezonans stochastyczny to zjawisko polegające na wzmacnianiu sygnału okresowego poprzez dodanie do niego składowej stochastycznej. W ćwiczeniu zrealizowaliśmy ten efekt poprzez symulację ruchu układu w potencjale bistabilnym z dodaną składową czasową, sinusoidalną.

Symulacja ruchu

Bardzo masywna cząstka porusza się w potencjale oscylatora Duffinga z okresową siłą wymuszającą $$ V(x) = a x^4 - b x^2 - c x\sin(\omega t) $$ Z dodatkiem losowej siły o gaussowskim rozkładzie i wariancji $D$.

Ruch cząstki symulujemy przy użyciu zmodyfikowanego schematu Eulerowskiego dla równań stochastycznych przy założeniu, że cząstka jest bardzo masywna i przetłumiona. co ostatecznie pozwala nam zapisać schemat aktualizacji pozycji cząstki między kolejnymi aktualizacjami jako:

$$x_{n+1} = x_n - \nabla V(x_n) dt + \sqrt{2 D dt} \chi$$

gdzie $\chi$ jest zmienną losową z rozkładu normalnego, "normalną" (o odchyleniu standardowym równym jeden i wartości średniej równej 0).

W tej symulacji całkowaliśmy równania dla następujących parametrów:

a	b	c	dt	Liczba kroków w okresie	Liczba okresów na symulację	$\omega = 1/T$
0.25	0.5	0.25	0.005	$2^{10}$	$2^{14}$	0.1953125

Poniższe symulacje przeprowadziliśmy dla 200 różnych wartości wariancji liczby losowej $D$ z zakresu od $10^{-2}$ do $10^1$, rozłożonych równomiernie w skali logarytmicznej.

Analiza fourierowska

W celu analizy trajektorie ruchu w każdej symulacji zamieniliśmy na wartości binarne:

• $1$ gdy $x \geq 0$
• $-1$ gdy $x < 0$

Następnie przeprowadziliśmy analizę fourierowską spektrum mocy danych, używając transformaty Fouriera. Przykłady kilku z tych transformat przedstawiamy na wykresach poniżej.

Transformaty wygładziliśmy, uśredniając 51 najbliższych punktów z kwadratu modułu transformaty Fouriera (widma mocy). Następnie odjęliśmy od widma mocy uśrednioną wartość i dla każdej symulacji odczytaliśmy wartość otrzymanej "względnej" amplitudy dla składowej odpowiadającej okresowej sile wymuszającej.

Zebranie danych z 200 symulacji

Wartości składowej odpowiadającej sile wymuszającej zebrane są, w skali log-log, na poniższym wykresie.

Wnioski

W trakcie realizacji ćwiczenia dowiedzieliśmy się wiele:

• o samym istnieniu zjawiska rezonansu stochastycznego, jego zastosowaniach np. w badaniu zmian klimatycznych oraz w niestabilnych plazmach
• jak całkować numerycznie stochastyczne równania różniczkowe, uwzględniając - w pierwszym przybliżeniu - człony proporcjonalne do $\sqrt{dt}$
• jak radzić sobie z długimi szeregami czasowymi (obsługa formatu do zapisu danych liczbowych .hdf5)
• jak analizować dane z szeregów czasowych poprzez analizę Fourierowską i jak radzić sobie z szumem w takich symulacjach