Renormalizations

地理复杂网络的粗粒化.md

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-复杂网络的几何粗粒化
+# 复杂网络的几何粗粒化
 
-作者在文中提出了一种类重整化群的数值分析方法，来研究 投映在二维格点图的复杂网络。每一步粗粒化就是将2\times 2的格点融合成一个新格点。每一步粗粒化的结果都是一个小一些的新系统。
+作者在文中提出了一种类重整化群的数值分析方法，来研究 *投映在二维格点图的复杂网络*。每一步**粗粒化**就是将$2\times 2$的格点融合成一个新格点。每一步粗粒化的**结果**都是一个小一些的新系统。
 
 重复这样的过程，我们会发现：这样的粗粒化过程下，原scale-free网络的一些数量性质是不变的。这个性质告诉我们，有这么一种可能性：从原网络中减去一个小网络（在不太破坏原网络结构的额前提下），我们可以保持网络的无标度性。这个结果同样可以应用在近期脑科学的研究中。
 
-- 生物领域：完整的网络结构比较难以定义。复杂度太高：10^{11}神经元细胞，每个与10^3 ~ 10^4个细胞有联系。
-- 统计物理：理解同意意义上的大脑行为，可能不需要那样多细节。有人做过研究，将大脑分成32\times64\times64个块，每个块里有大概O(10^{15})个神经细胞，通过研究这些块之间的关系，我们就能分析出大脑的功能网络结构。这是heavily coarse-grained的信息，但依然很有效。这是由于大脑网络的无标度性。
+- 生物领域：完整的网络结构比较难以定义。复杂度太高：$10^{11}$神经元细胞，每个与$10^3 $~$ 10^4$个细胞有联系。
+- 统计物理：理解同意意义上的大脑行为，可能不需要那样多细节。有人做过研究，将大脑分成$32\times64\times64$个块，每个块里有大概$O(10^{15})$个神经细胞，通过研究这些块之间的关系，我们就能分析出大脑的功能网络结构。这是heavily coarse-grained的信息，但依然很有效。这是由于大脑网络的无标度性。
 
-本文：
+#### 本文：
 
 1. 建立插入到地理空间中的无标度网络
 2. 进行数次的粗粒化过程
 
-结果：粗粒化过程不会改变原网络的重要性质。特别的，度指数\gamma、聚集性、吸收特征（？？？）、层次结构都不随着粗粒化过程改变。本文得出的结论是，人脑的功能网络不会随着标度的改变而改变。
+结果：粗粒化过程不会改变原网络的重要性质。特别的，度指数$\gamma$、聚集性、<u>吸收特征</u>（？？？）、层次结构都不随着粗粒化过程改变。本文得出的结论是，人脑的功能网络不会随着标度的改变而改变。
 
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-方法
+#### 方法
 
 1. 建立网络
-   N=L\times L个结点的二维格网。每个结点的 度 由p(k)\propto k^{-\gamma} 生成。
-   度的实现机制：随机在网络中选一个结点v, 将与其距离在\alpha \sqrt {k_v} 以内的所有结点连起来。随着这个过程的进行，周围的结点不够了，就不连了。。
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+   $N=L\times L$个结点的二维格网。每个结点的 **度** 由$p(k)\propto k^{-\gamma}$ 生成。
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+   度的实现机制：随机在网络中选一个结点$v,$ 将与其距离在$\alpha \sqrt {k_v}$ 以内的所有结点连起来。随着这个过程的进行，周围的结点不够了，就不连了。。
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 2. 粗粒化
-   与Kadanoff block spin renormalization-group一样。但是增加了边权。
-   - 对边权的讨论：随着层数的增加，如果不加调整的话，边权（平均度）就会单调递增。最后形成全连接网络。所以我们要对其进行修正。比如说，我们总共要去掉m条边。就将边权最小的m条去掉。
 
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+   与Kadanoff block spin renormalization-group一样。但是增加了**边权**。
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+   - 对边权的讨论：随着层数的增加，如果不加调整的话，边权（平均度）就会单调递增。最后形成全连接网络。所以我们要对其进行修正。比如说，我们总共要去掉$m$条边。就将边权最小的$m$条去掉。
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空间网络拓扑相变.md

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+# 空间网络的拓扑相变
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+- 网络$\Leftrightarrow$ 有限维空间
+  - **距离**对应两个结点建立连接的**似然比**
+- 距离衰减的例子：
+  - 社会系统：认识$\Leftrightarrow$距离衰减
+  - 细胞内：蛋白质反应
+  - 大脑内：神经元交互
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+大多数对 **度分布** 进行的建模都会忽略空间因素。而考虑物理空间的模型往往只能预测有界的度分布，这与经验数据不相符。
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+本文要提出一种方法，来研究空间网络中比较少见研究的几个问题：分析形式的度分布、路径长度、集聚效应。本文中的模型可以求出数学上的解析解。这个解析解显示，网络中存在两种相，每种都对应着一个微分方程：
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+- scale-free相
+- geometry相
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+## Key Points
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