Edit most of math formulas

docs/03_maths/019_equation_canonique/equation_canonique.md

@@ -18,7 +18,7 @@ last_modified_date: 2023-09-23 09:00:00
 
 
 ## Introduction
-C'est moyennement intéressant car cela ne concerne que les polynômes de degré 2. T'as vu, ça donne vraiement envie de lire la suite...
+C'est moyennement intéressant car cela ne concerne **que** les polynômes de degré 2. T'as vu, ça donne vraiment envie de lire la suite...
 
 On veut écrire $$f(x)=ax^2+bx+c$$ sous la forme $$a(x-\alpha)^2 + \beta$$ 
 
@@ -41,48 +41,76 @@ Bref, l'expression canonique (sous réserve qu'elle soit pas trop prise de tête
 ## Calcul de $$\alpha$$ et $$\beta$$
 On commence en posant l'égalité
 
-$$ ax^2+bx+c = a(x-\alpha)^2 + \beta $$
-
-$$ ax^2+bx+c = a (x^2 - 2 x \alpha + \alpha^2) + \beta$$
+$$ 
+\begin{align*}
+ax^2+bx+c & = a(x-\alpha)^2 + \beta \\
+ax^2+bx+c & = a (x^2 - 2 x \alpha + \alpha^2) + \beta \\
+ax^2+bx+c & = ax^2 - 2ax\alpha + a \alpha^2 + \beta
+\end{align*}
+$$
 
 
-$$ ax^2+bx+c = ax^2 - 2ax\alpha + a \alpha^2 + \beta$$
+$$ $$
 
 On égalise membre à membre. En français dans le texte cela veut dire que les facteurs de $$x^2$$ sont égaux entre eux, idem pour les facteurs de $$x$$ ainsi que les constantes. On se retrouve avec 3 égalités :
 
-$$ a = a$$
-$$ b = -2a\alpha$$
-$$ c = a \alpha^2 + \beta$$
+$$ 
+\begin{align*}
+a & = a \\
+b & = -2a\alpha \\
+c & = a \alpha^2 + \beta
+\end{align*}
+$$
+
 
 De la seconde égalité on tire :
+
 $$ \alpha = - \frac{b}{2a}$$
 
 Avec la troisième égalité on obtient :
+
 $$ \beta = c - a \alpha^2 $$
 
 Or, on vient de trouver que :
+
 $$ \alpha = - \frac{b}{2a}$$
 
 Donc
-$$ \beta = c - a \alpha^2 $$
-$$ \beta = c - a (- \frac{b}{2a})^2 $$
-
-$$ \beta = c - a  \frac{b^2}{4a^2}$$
-$$ \beta = c - \frac{b^2}{4a}$$
-$$ \beta = \frac{4ac}{4a} - \frac{b^2}{4a}$$
-$$ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}$$
-$$ \beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$$
-$$ \beta = -\frac{\Delta}{4a}$$
+$$ 
+\begin{align*}
+\beta & = c - a \alpha^2 \\
+\beta & = c - a (- \frac{b}{2a})^2 \\
+\beta & = c - a  \frac{b^2}{4a^2} \\
+\beta & = c - \frac{b^2}{4a} \\
+\beta & = \frac{4ac}{4a} - \frac{b^2}{4a} \\
+\beta & = \frac{4ac - b^2}{4a} \\
+\beta & = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \\
+\beta & = -\frac{\Delta}{4a}
+\end{align*}
+$$
 
 Mouai...À ce stade on peut donc dire que :
 
 $$ ax^2+bx+c = a(x-\alpha^2) + \beta $$
 
 Avec 
+
 $$ \alpha = - \frac{b}{2a}$$
+
 Et 
+
 $$ \beta = -\frac{\Delta}{4a}$$
 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 ### Calculons f($$\alpha$$)
 
 $$ f(x)=ax^2+bx+c $$
@@ -97,14 +125,18 @@ $$ \alpha = - \frac{b}{2a}$$
 
 On a donc :
 
-$$ f(\alpha)=a(- \frac{b}{2a})^2 + b(- \frac{b}{2a}) + c $$
-$$ f(\alpha)=a(\frac{b^2}{4a^2}) - (\frac{b^2}{2a}) + c $$
-$$ f(\alpha)=\frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c $$
-$$ f(\alpha)=\frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} $$
-$$ f(\alpha)=\frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} $$
-$$ f(\alpha)=\frac{- b^2 + 4ac}{4a} $$
-$$ f(\alpha)= - \frac{b^2 - 4ac}{4a} $$
-$$ f(\alpha)= - \frac{\Delta}{4a} $$
+$$ 
+\begin{align*}
+f(\alpha) & = a(- \frac{b}{2a})^2 + b(- \frac{b}{2a}) + c \\
+f(\alpha) & = a(\frac{b^2}{4a^2}) - (\frac{b^2}{2a}) + c \\
+f(\alpha) & = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c \\
+f(\alpha) & = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} \\
+f(\alpha) & = \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \\
+f(\alpha) & = \frac{- b^2 + 4ac}{4a} \\
+f(\alpha) & =  - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\
+f(\alpha) & =  - \frac{\Delta}{4a} \\
+\end{align*}
+$$
 
 Donc $$\beta = f(\alpha)$$ 
 
@@ -113,25 +145,39 @@ Dorénavant on peut dire :
 $$ ax^2+bx+c = a(x-\alpha)^2 + \beta $$
 
 Avec 
+
 $$ \alpha = - \frac{b}{2a}$$
+
 Et 
+
 $$ \beta = f(\alpha)$$
 
+
+
+
+
+
 ## Mise en pratique pour montrer que c'est vraiment utile et facile
 On se donne $$f(x) = 2x^2 -12x + 22$$
 
 Exprimez $$f(x)$$ sous sa forme canonique
 
 Fastoche! On commence avec $$\alpha$$ 
+
 $$\alpha = - \frac{b}{2a} = - \frac{-12}{4} = 3$$ 
 
 Ensuite on trouve $$\beta$$
+
 $$ \beta = f(\alpha) = 2\alpha^2 -12\alpha + 22 = 2 * 3^2 - 12 * 3 + 22 = 18 - 36 + 22 = 4$$
 
 Donc sous sa forme canonique on a :
 
-$$f(x) = a(x-\alpha^2) + \beta $$
-$$f(x) = 2(x-3)^2 + 4 $$
+$$
+\begin{align*}
+f(x) & = a(x-\alpha^2) + \beta \\
+f(x) & = 2(x-3)^2 + 4 
+\end{align*}
+$$
 
 Une fois écrit sous cette forme on peut dire que :
 * La parabole est convexe. Ses branches sont en l'air
@@ -159,14 +205,27 @@ _ = ax.scatter(3, 4, c='red')
 </div>
 
 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 ## Une autre façon de raisonner
 
 On veut toujours écrire $$f(x)=ax^2+bx+c$$ sous la forme $$a(x-\alpha)^2 + \beta$$ 
 
 Pour y arriver, on va écrire le début de $$f(x)$$ comme une identité remarquable.
 
-$$f(x)=ax^2 + bx + c$$
-$$f(x)=a(x^2+x \frac{b}{a}) + c$$
+$$
+\begin{align*}
+f(x) & =ax^2 + bx + c \\
+f(x) & =a(x^2+x \frac{b}{a}) + c
+\end{align*}
+$$
 
 Là, la ruse consiste à dire que ce qu'il y a dans la parenthèse ressemble au début d'une identité remarquable. Un truc du style :
 
@@ -180,35 +239,48 @@ Et ça, c'est censé ressembler au début de $$(A^2 + 2AB + ...)$$
 
 Développons $$(x + \frac{b}{2a})^2$$. Il faut bien voir le $$2$$ au dénominateur.
 
-$$ (x + \frac{b}{2a})^2 = x^2 + 2 * x * \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 $$
-$$ (x + \frac{b}{2a})^2 = x^2 + x * \frac{b}{a} + (\frac{b}{2a})^2 $$
+$$ 
+\begin{align*}
+(x + \frac{b}{2a})^2 & = x^2 + 2 * x * \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 \\
+(x + \frac{b}{2a})^2 & = x^2 + x * \frac{b}{a} + (\frac{b}{2a})^2 
+\end{align*}
+$$
+
 
-On reconnait, à droite de l'égalité le début de notre écriture de $$f(x)$$. On avait : 
+On reconnaît, à droite de l'égalité le début de notre écriture de $$f(x)$$. On avait : 
 
 $$f(x)=a(x^2+x \frac{b}{a}) + c$$
 
 Et ici on peut dire que : 
+
 $$ (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = x^2 + x * \frac{b}{a}  $$
 
 Si on remplace dans l'expression de $$f(x)$$ on a : 
 
-$$f(x)=a(x^2 + x \frac{b}{a}) + c$$
-
-$$f(x)=a((x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$$
 
-$$f(x) = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c $$
-$$f(x) = a (x + \frac{b}{2a})^2 - a \frac{b^2}{4a^2} + c $$
-$$f(x) = a (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c $$
-$$f(x) = a (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} $$
-$$f(x) = a (x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} $$
-$$f(x) = a (x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{\Delta}{4a} $$
+$$
+\begin{align*}
+f(x) & = a(x^2 + x \frac{b}{a}) + c \\
+f(x) & = a((x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c \\
+f(x) & = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c \\
+f(x) & = a (x + \frac{b}{2a})^2 - a \frac{b^2}{4a^2} + c \\
+f(x) & = a (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c \\
+f(x) & = a (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} \\
+f(x) & = a (x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} \\
+f(x) & = a (x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{\Delta}{4a} 
+\end{align*}
+$$
 
 On retrouve bien ce que nous avions précédement : 
+
 $$ ax^2+bx+c = a(x-\alpha)^2 + \beta $$
 
 Avec 
+
 $$ \alpha = - \frac{b}{2a}$$
+
 Et 
+
 $$ \beta = \frac{\Delta}{4a} = f(\alpha)$$