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<title>Fracciones. Potencias</title>
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<body>
<div id="header">
<h1 class="title">Fracciones. Potencias</h1>
</div>
<section>
<header>
<h1 id="fracciones">Fracciones</h1>
</header>
<p>Una fracción es el cociente entre dos números enteros: <span class="math">\(\dfrac{a}{b}\)</span> con <span class="math">\(b\not = 0\)</span>, el número en la parte superior se denomina <span><em>numerador</em></span> y el de la inferior <span><em>denominador</em></span>. Las fracciones se usan para expresar cantidades que no corresponden a número enteros, pero también éstos pueden representarse mediante fracciones. Distintas fracciones pueden representar a la misma cantidad, entonces se llaman <span><em>fracciones equivalentes</em></span>; entre todas las fracciones que representan a la misma cantidad hay solamente una que tiene la propiedad de que <span class="math">\(mcd(a,b)=1\)</span>, es decir, numerador y denominador son primos relativos, este tipo de fracciones se llaman <span><em>irreducibles</em></span>.</p>
<p>Partiendo de la fracción <span class="math">\(\dfrac{5}{6}\)</span> podemos construir fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por el mismo número, por ejemplo, multiplicando por <span class="math">\(2\)</span> obtenemos <span class="math">\(\dfrac{10}{12}\)</span> y por <span class="math">\(3\)</span> nos da <span class="math">\(\dfrac{15}{18}\)</span>. Las tres son fracciones equivalentes, es decir, representan a la misma cantidad y por tanto podemos escribir <span class="math">\[\frac{5}{6}=\frac{10}{12}=\frac{15}{18}.\]</span> De entre estas tres fracciones la primera es la fracción irreducible puesto que <span class="math">\(5\)</span> y <span class="math">\(6\)</span> son primos relativos.</p>
<p>Para obtener la fracción irreducible equivalente a una dada podemos utilizar el <span class="math">\(mcd\)</span> de numerador y denominador. Por ejemplo, para calcular la fracción irreducible equivalente con <span class="math">\(\dfrac{198}{825}\)</span> usamos que <span class="math">\(mcd(198,825)=33\)</span> y así tanto numerador como denominador pueden escribirse como múltiplos de ese número y la fracción puede ser simplificada eliminando el mismo factor en numerador y denominador: <span class="math">\[\dfrac{198}{825}= \dfrac{33\cdot 6}{33\cdot 25}= \dfrac{\require{cancel}\cancel{33}\cdot 6}{\cancel{ 33}\cdot 25}=\dfrac{6}{25}.\]</span> La fracción resultante es irreducible puesto que se han eliminado todos los factores primos comunes de numerador y denominador.</p>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="suma-y-resta-de-fracciones">Suma y resta de fracciones</h1>
</header>
<p>Para realizar la suma o resta de cantidades necesitamos representarlas mediante fracciones que tengan el mismo denominador, para ello basta elegir entre todas las fracciones equivalentes las adecuadas en cada caso. La forma más habitual es calcular el <span class="math">\(mcm\)</span> de todos los denominadores que tengamos. Una vez que las fracciones tienen el mismo denominador las operaciones de suma y resta se efectúan sobre los numeradores.</p>
<p>Si queremos calcular <span class="math">\[\dfrac{5}{6} + 2 - \dfrac{4}{9},\]</span> debemos sustituir cada uno de los números por una fracción equivalente de forma que las tres tengan el mismo denominador. En primer lugar observemos que <span class="math">\(2=\dfrac{2}{1}\)</span>, así que tenemos los denominadores <span class="math">\(6,1,9\)</span>; el <span class="math">\(mcm(6,1,9)=18\)</span>, que será el denominador común que necesitamos. Ahora cada una de las cantidades debe representarse por la fracción equivalente que tiene denominador <span class="math">\(18\)</span>; para <span class="math">\(\dfrac{5}{6}\)</span> calculamos el cociente entre <span class="math">\(18\)</span> y el denominador original <span class="math">\(6\)</span>, que es <span class="math">\(3\)</span> (siempre resultará entero, porque el <span class="math">\(mcm\)</span> es un múltiplo como su nombre indica), por tanto, para que la fracción sea equivalente debemos multiplicar numerador y denominador por <span class="math">\(3\)</span> <span class="math">\[\dfrac{5}{6}=\dfrac{5\cdot 3}{6\cdot 3}=\dfrac{15}{18}.\]</span> Del mismo modo, <span class="math">\[2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{2\cdot 18}{1\cdot 18}=\dfrac{36}{18}\]</span> y <span class="math">\[\dfrac{4}{9}=\dfrac{4\cdot 2}{9\cdot 2}=\dfrac{8}{18}.\]</span> Ahora volvemos a escribir la operación a realizar <span class="math">\[\dfrac{15}{18} + \dfrac{36}{18} - \dfrac{8}{18}=\dfrac{15+36-8}{18}=\dfrac{43}{18}.\]</span></p>
</header>
<section>
<header>
<h1 id="producto-fracción-inversa-y-división">Producto, fracción inversa y división</h1>
</header>
<p>Para multiplicar dos fracciones se multiplican ambos numeradores y ambos denominadores: <span class="math">\[\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}.\]</span></p>
<p>La <span><em>fracción inversa</em></span> de una dada es la que tiene por numerador al denominador de la primera y viceversa. La fracción inversa de <span class="math">\(\dfrac{a}{b}\)</span> es <span class="math">\(\dfrac{b}{a}\)</span>, es decir, la fracción inversa es aquella que al multiplicarla por la dada nos da como resultado el número 1.</p>
<p><span class="math">\[\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{a}= \dfrac{a\cdot b}{b\cdot a}=\dfrac{\cancel{a}\cdot \cancel{b}\cdot 1}{\cancel{a}\cdot \cancel{b}\cdot 1}\dfrac{1}{1}=1.\]</span></p>
<p>Observemos que el número <span class="math">\(0=\dfrac{0}{1}\)</span> no tiene fracción inversa puesto que <span class="math">\(0\)</span> no es admitido como denominador.</p>
<p>Para dividir dos fracciones se puede usar la regla de multiplicar en cruz o sustituir la división por el producto con la fracción inversa del divisor, es decir:</p>
<p><span class="math">\[\dfrac{a}{b}\colon \dfrac{c}{d}= \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}= \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b \cdot c}.\]</span></p>
<h1 id="operaciones-con-fracciones-uso-de-paréntesis-y-signos">Operaciones con fracciones, uso de paréntesis y signos</h1>
<p>Ahora ejercitaremos las operaciones recordando que el producto tiene prioridad sobre la suma pero que esta prioridad puede cambiarse mediante el uso de paréntesis. También prestaremos atención a los signos que aparecen.</p>
<p>Efectuaremos las operaciones</p>
<ol>
<li><p><span class="math">\(\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\)</span></p></li>
<li><p><span class="math">\(\dfrac{2}{5}\cdot \left( \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\right)\)</span></p></li>
</ol>
<p>y comprobaremos que los resultados son diferentes. En la primera se efectúa en primer lugar el producto y después la resta: <span class="math">\[\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}=\dfrac{2\cdot 1}{5\cdot 3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{4}= \dfrac{8-15}{60}=-\dfrac{7}{60}.\]</span> En la segunda primero se efectúa la operación entre paréntesis y después el producto: <span class="math">\[\dfrac{2}{5}\cdot \left( \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{2}{5}\cdot \left( \dfrac{4-3}{12}\right)=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{12}=\dfrac{2}{60}=\dfrac{1}{30}.\]</span></p>
<p>Los signos se manejan como en los números enteros, teniendo en cuenta que siempre podemos elegir que el signo del denominador sea positivo sin más multiplicar, si es necesario, arriba y abajo por <span class="math">\(-1\)</span>. <span class="math">\[\left( -\dfrac{1}{3}\right)\colon \left( \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{2}\right)=
\left( -\dfrac{1}{3}\right)\colon \left( \dfrac{4-5}{10}\right)
=\left( -\dfrac{1}{3}\right)\colon \left( -\dfrac{1}{10}\right)=
\left( -\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left(- \dfrac{10}{1}\right)= \dfrac{10}{3}.\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Calcula y devuelve el resultado como fracción irreducible.</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\(\left(-2+\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{7}{5}-1\right) - \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}\right)\)</span>
<span id="sol-e1-1" style="display:none;">
\(= -\dfrac{3}{4}\)
</span>.
<button id="e1-1" class="button" onclick="show2('e1-1');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\dfrac{\left( -\dfrac{3}{5}\right)\left(-\dfrac{5}{6}\right)}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}}\)</span>
<span id="sol-e1-2" style="display:none;">
\(= -\dfrac{15}{11}\)
</span>.
<button id="e1-2" class="button" onclick="show2('e1-2');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{2}\right)\colon \left( \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{5}\right)+ \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}\right)\right)\)</span>
<span id="sol-e1-3" style="display:none;">
\(= -\dfrac{14}{5}\)
</span>.
<button id="e1-3" class="button" onclick="show2('e1-3');">Solución</button></p></li>
</ol>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="potencias">Potencias</h1>
</header>
<p>El concepto inicial de potencia es una forma de denotar a un producto en el que todos los factores son idénticos, por ejemplo si queremos expresar el producto <span class="math">\(2\times 2 \times 2 \times 2 \times 2\)</span> usaremos la expresión <span class="math">\(2^5\)</span>, es decir, se escribe el factor que se repite, al que llamaremos <span><em>base de la potencia</em></span>, en este caso <span class="math">\(2\)</span>, y se le añade como superíndice el número de veces que aparece en el producto, a lo que llamaremos <span><em>exponente</em></span>, en este caso <span class="math">\(5\)</span>. En general escribimos</p>
<p><span class="math">\[\overbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}^{\mbox{n veces}}=a^n.\]</span></p>
<p>Como convenio, para cualquier número <span class="math">\(a\)</span> distinto de cero, <span class="math">\(a^0=1\)</span>. Observemos que si la base es un número negativo es necesario usar paréntesis para indicar su potencia, por ejemplo <span class="math">\((-2)^4=16\)</span> mientras que <span class="math">\(-2^4=-16\)</span>.</p>
<ol>
<li><p><span class="math">\(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)</span>.</p></li>
<li><p><span class="math">\((a\cdot b)^n=a^n \cdot b^n\)</span>.</p></li>
<li><p><span class="math">\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)</span>.</p></li>
<li><p><span class="math">\(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)</span>.</p></li>
<li><p><span class="math">\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)</span>.</p></li>
<li><p><span class="math">\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)</span>.</p></li>
</ol>
<p>Calculamos <span class="math">\[\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{-2}= \dfrac{1}{\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{2}}=
\dfrac{1}{ \dfrac{(-1)^2}{2^2}}= 1\cdot \dfrac{2^2}{1}=2^2.\]</span></p>
<p>Usamos las propiedades anteriores y la simplificación de fracciones para obtener una expresión simplificada de una dada: <span class="math">\[a^2\cdot b^3\cdot \left(\dfrac{1}{ab^2}\right)^2= a^2\cdot b^3\cdot \dfrac{1^2}{(ab^2)^2}= \dfrac{\cancel{a^2}\cdot b^3}{\cancel{a^2}\cdot b^4}= b^{3-4}=b^{-1}= \dfrac{1}{b}.\]</span> Podemos observar que la cancelación de <span class="math">\(a^2\)</span> también podría realizarse haciendo uso de las propiedades de las potencias, puesto que <span class="math">\[\dfrac{a^2}{a^2}=a^{2-2}=a^0 = 1.\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Simplifica las siguientes expresiones</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\(\dfrac{a^2}{(a^2)^{-3}\cdot a^4}\)</span>
<span id="sol-e2-1" style="display:none;">
\(= -a^4\)
</span>.
<button id="e2-1" class="button" onclick="show2('e2-1');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\dfrac{(a^5\cdot a^{-2})^3}{a^{-3}}\)</span>
<span id="sol-e2-2" style="display:none;">
\(= a^{12}\)
</span>.
<button id="e2-2" class="button" onclick="show2('e2-2');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^3\cdot\left(\dfrac{b}{a}\right)^{-2}\cdot \left(\dfrac{1}{a}\right)^{-1}\)</span>
<span id="sol-e2-3" style="display:none;">
\(= -\dfrac{a^{6}}{b^5}\)
</span>.
<button id="e2-3" class="button" onclick="show2('e2-3');">Solución</button></p></li>
</ol>
</article>
</section>
<section>
<header>
<h1 id="radicales">Radicales</h1>
</header>
<p>Definimos la raiz n-ésima de un número <span class="math">\(a\)</span> como aquella cantidad <span class="math">\(x\)</span> tal que <span class="math">\[\sqrt[n]{a}=x \mathrm{ que implica que } x^n=a.\]</span> La expresión de los radicales también puede realizarse mediante potencias, si <span class="math">\(x=\sqrt[n]{a}\)</span> entonces <span class="math">\(x=a^{\frac{1}{n}}\)</span> puesto que <span class="math">\[x^n= (a^{\frac{1}{n}})^n= a^{\frac{n}{n}}=a^1 = a.\]</span></p>
<p>La expresión de radicales como potencias con exponentes fraccionarios tiene las mismas propiedades, usando las operaciones correspondientes con dichos números.</p>
<p>Podemos escribir en forma de potencia la siguiente expresión</p>
<p><span class="math">\[\left[ \sqrt[12]{a^4b^8}\right]^3=\left[ (a^4 b^8)^{\frac{1}{12}} \right]^3 = \left[ a^{\frac{4}{12}}b^{\frac{8}{12}} \right]^3 =a^{\frac{4\cdot 3}{12}}b^{\frac{8\cdot 3}{12}} = ab^2.\]</span></p>
<article>
<header>
<h3>Ejercicio</h3>
<p>Simplifica las siguientes expresiones:</p>
</header>
<ol>
<li><p><span class="math">\(\sqrt[3]{\sqrt{a^5 a^7}}\)</span>
<span id="sol-e3-1" style="display:none;">
\(= a^2\)
</span>.
<button id="e3-1" class="button" onclick="show2('e3-1');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\left(\sqrt[3]{\sqrt[7]{\sqrt{8a^3}}}\right)^7\)</span>
<span id="sol-e3-2" style="display:none;">
\(= \sqrt{2a}\)
</span>.
<button id="e3-2" class="button" onclick="show2('e3-2');">Solución</button></p></li>
<li><p><span class="math">\(\dfrac{(\sqrt{x})^3}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[4]{x}}\right)^6}\)</span>
<span id="sol-e3-3" style="display:none;">
\(= x\)
</span>.
<button id="e3-3" class="button" onclick="show2('e3-3');">Solución</button></p></li>
</ol>
</article>
</section>
<hr>
<p style="font-size: 10pt">Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. </p>
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