Android Studio é um ambiente de desenvolvimento integrado para desenvolver para a plataforma Android.
Acessar o site https://developer.android.com/studio e clicar no botão Download Android Studio. Para instalar basta dar Next até o final.
Para configurar o SDK, clique em Configure > SDK Manager, na aba SDK Platforms escolha a versão mais recente e na aba SDK Tools selecione as opções:
Android SDK Build-Tools
Android Emulator
Android SDK Platform-Tools
Android SDK Tools <versão>
Intel x86 Emulator Accelerator (HAXM installer)
Depois, para configurar o emulador, clique em Configure > AVD Manager. Clique em Create Virtual Device....
Na janela que abrir, em Select Hardware, na aba Phone selecione o modelo mais atual que tenha Play Store, dê um Next. Em System Image, selecione a api mais atual que você quer usar e se tiver o botão download do lado, clique para fazer o download, depois clique em Next. Em Android Virtual Device (AVD), no AVD Name, digite um nome para o emulador, deixe a Startup orientation como Portrait e o Device Frame como Enable Device Frame e clique em Finish.
Para rodar o emulador, só dar um Play no emulador desejado.
Com o emulador aberto você pode realizar o run do React Native para Android através da pasta do seu projeto.
react-native run-android
Clique aqui para ver a documentação e fazer a instalação.