From 8428826147a863e1d78655d7e5f7dbd07bc084e3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yalikesifulei Date: Mon, 21 Dec 2020 12:32:26 +0200 Subject: [PATCH] fixes --- lectures/2_2.tex | 3 +- lectures/2_3.tex | 14 ++-- lectures/3_3.tex | 4 +- lectures/5_2.tex | 14 ++-- lectures/6_1.tex | 208 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ main.tex | 2 +- 6 files changed, 227 insertions(+), 18 deletions(-) create mode 100644 lectures/6_1.tex diff --git a/lectures/2_2.tex b/lectures/2_2.tex index e9360a8..7ca8feb 100644 --- a/lectures/2_2.tex +++ b/lectures/2_2.tex @@ -158,7 +158,8 @@ \subsection{Дисперсія} \item Для обчислення дисперсії більш зручною є наступна формула: $D\xi = E(\xi^2 - 2\xi E\xi +(E\xi)^2) = E\xi^2 - 2(E\xi)^2 + (E\xi)^2 = E\xi^2 - (E\xi)^2$. - \item $D(c\cdot \xi) = c^2\cdot D\xi$, оскільки $D(c\cdot \xi) = E\left(c\cdot\xi-E(c\cdot\xi\right))^2 = E\left(c\cdot\xi - c\cdot E\xi\right)^2 = c^2 \cdot E\left(\xi-E\xi\right)^2 = c^2 \cdot D\xi$. + \item $D(c\cdot \xi) = c^2\cdot D\xi$, оскільки $D(c\cdot \xi) = E\left(c\cdot\xi-E(c\cdot\xi\right))^2 = E\left(c\cdot\xi - c\cdot E\xi\right)^2 = c^2 \cdot E\left(\xi-E\xi\right)^2 = c^2 \cdot D\xi$, $c$ --- константа. + \item $D(\xi + c) = E(\xi + c - E(\xi + c))^2 = E(\xi + c - E\xi - Ec) = E(\xi - E\xi)^2 = D\xi$, $c$ --- константа. \suspend{enumerate} \begin{definition} \emph{Центрованою} випадковою величиною, що відповідає випадковій величині $\xi$, називається diff --git a/lectures/2_3.tex b/lectures/2_3.tex index 24d76ff..b1ec1c2 100644 --- a/lectures/2_3.tex +++ b/lectures/2_3.tex @@ -717,15 +717,15 @@ \subsection{Гамма-розподіл} \noindent \textbf{Крива розподілу:} \begin{tabular}{c c} - \begin{tikzpicture}[yscale = 15, xscale = 0.5, baseline={(current bounding box.center)}] + \begin{tikzpicture}[yscale = 7, xscale = 0.5, baseline={(current bounding box.center)}] \pgfmathsetmacro{\a}{2}; - \pgfmathsetmacro{\b}{3}; + \pgfmathsetmacro{\b}{1}; \draw [->] (-2, 0) -- (20, 0); - \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.15); + \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.4); \draw [ultra thick] (-2, 0) -- (0, 0); - \draw [domain=0:19.7, smooth, variable = \x, ultra thick] plot ({\x}, {\b^(-\a)*\x^(\a-1) * e^(-\x/\b)}); + \draw [domain=0:19.7, smooth, variable = \x, ultra thick] plot ({\x}, {\b^(\a)*\x^(\a-1) * e^(-\x*\b)}); \node [below] at (20, 0) {$x$}; - \node [left] at (0, 0.15) {$f_\xi(x)$}; + \node [left] at (0, 0.4) {$f_\xi(x)$}; \node [below left] at (0, 0) {$0$}; \end{tikzpicture} & \begin{tabular}{c} @@ -736,11 +736,11 @@ \subsection{Гамма-розподіл} \begin{tabular}{c c} \begin{tikzpicture}[yscale = 5, xscale = 0.5, baseline={(current bounding box.center)}] \pgfmathsetmacro{\a}{1}; - \pgfmathsetmacro{\b}{2}; + \pgfmathsetmacro{\b}{0.5}; \draw [->] (-2, 0) -- (20, 0); \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.6); \draw [ultra thick] [->] (-2, 0) -- (0, 0); - \draw [domain=0:19.7, smooth, variable = \x, ultra thick] plot ({\x}, {\b^(-\a)*\x^(\a-1) * e^(-\x/\b)}); + \draw [domain=0:19.7, smooth, variable = \x, ultra thick] plot ({\x}, {\b^(\a)*\x^(\a-1) * e^(-\x*\b)}); \node [below] at (20, 0) {$x$}; \node [left] at (0, 0.6) {$f_\xi(x)$}; \node [below right] at (0, 0) {$0$}; diff --git a/lectures/3_3.tex b/lectures/3_3.tex index 08bf566..3e7b81e 100644 --- a/lectures/3_3.tex +++ b/lectures/3_3.tex @@ -151,7 +151,7 @@ \subsection{Мішані початкові та центральні $D(a\xi_1 \pm b\xi_2) = E(a\xi_1 \pm b\xi_2 - E(a\xi_1 \pm b\xi_2))^2 = E(a(\xi_1-E\xi_1)\pm b(\xi_2 - E\xi_2))^2 = - a^2 E\mathring{\xi}_1^2 \pm 2abE\mathring{\xi}_1 E\mathring{\xi} _2 + a^2 E\mathring{\xi}_1^2 \pm 2abE\mathring{\xi}_1\mathring{\xi} _2 + b^2 E\mathring{\xi}_2^2 = a^2D\xi_1 \pm 2abK\xi_1\xi_2 + b^2D\xi_2$. \end{proof} @@ -166,7 +166,7 @@ \subsection{Мішані початкові та центральні $\left|K\xi_1\xi_2\right| \leq \sigma_{\xi_1} \sigma_{\xi_2}$. - \item Введемо центровані нормовані випадкові величини $\xi_H = \frac{\xi - E\xi} + \item Введемо нормовані центровані випадкові величини $\xi_H = \frac{\xi - E\xi} {\sigma_\xi}$, $E\xi_H =0$, $D\xi_H = 1$. $E(\xi_{1H} \pm \xi_{2H})^2 \geq 0 \Leftrightarrow diff --git a/lectures/5_2.tex b/lectures/5_2.tex index 952579b..90fb24e 100644 --- a/lectures/5_2.tex +++ b/lectures/5_2.tex @@ -417,7 +417,7 @@ \subsection{Закон розподілу частки двох НВВ} \frac{\sigma^2}{2\pi\sigma^2(1+z^2)}\int\limits^{+\infty}_0 e^{-t} dt = \end{equation*} \begin{equation*} - = \frac{1}{\pi(1+z^2)}\int\limits_0^{+\infty}e^{-t}dt = \frac{1}{\pi(1+z^2)} + = \frac{1}{\pi(1+z^2)}\int\limits_0^{+\infty}e^{-t}dt = \frac{1}{\pi(1+z^2)}, z \in \mathbb{R} \text{ --- це щільність розподілу Коші.} \end{equation*} \end{example} @@ -509,9 +509,9 @@ \subsection{Числові характеристики функції бага Доведемо у випадку $n=2$, та $\varphi(x, y) \geq 0$. \begin{gather*} E\eta^k = \int\limits_0^{+\infty} \left(1 - F_{\eta^k}(z)\right) dz = - \int\limits_0^{+\infty} \left({\iint_{\varphi^k(x,y) \geq z}} f_{\vec{x}}(x,y) dx dy\right) dz = \\ - =\iint\limits_{\mathbb{R}^2} \left( \int\limits_0^{\varphi^k(x,y)} dz\right) f_{\vec{x}}(x,y) dx dy = - \iint\limits_{\mathbb{R}^2} \varphi^k(x,y) f_{\vec{x}}(x,y) dx dy + \int\limits_0^{+\infty} \left({\iint_{\varphi^k(x,y) \geq z}} f_{\vec{\xi}}(x,y) dx dy\right) dz = \\ + =\iint\limits_{\mathbb{R}^2} \left( \int\limits_0^{\varphi^k(x,y)} dz\right) f_{\vec{\xi}}(x,y) dx dy = + \iint\limits_{\mathbb{R}^2} \varphi^k(x,y) f_{\vec{\xi}}(x,y) dx dy \end{gather*} \end{proof} @@ -522,9 +522,9 @@ \subsection{Числові характеристики функції бага \begin{example}\label{proof:expectation} $\xi_1, \xi_2$ --- НВВ, знайдемо $E(\xi_1 + \xi_2)$ та $E\xi_1\xi_2$ у випадку незалежності цих НВВ. - $$E(\xi_1 + \xi_2) = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} (x+y) f_{\vec{x}}(x,y) dx dy = - \iint\limits_{\mathbb{R}^2} x f_{\vec{x}}(x,y) dx dy + - \iint\limits_{\mathbb{R}^2} y f_{\vec{x}}(x,y) dx dy = E\xi_1 + E\xi_2$$ + $$E(\xi_1 + \xi_2) = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} (x+y) f_{\vec{\xi}}(x,y) dx dy = + \iint\limits_{\mathbb{R}^2} x f_{\vec{\xi}}(x,y) dx dy + + \iint\limits_{\mathbb{R}^2} y f_{\vec{\xi}}(x,y) dx dy = E\xi_1 + E\xi_2$$ Якщо $\xi_1, \xi_2$ незалежні, то $f_{\vec{x}}(x,y) = f_{\xi_1}(x) f_{\xi_2}(y)$. $$E\xi_1 \xi_2 = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} xy f_{\xi_1}(x) f_{\xi_2}(y) dx dy = diff --git a/lectures/6_1.tex b/lectures/6_1.tex new file mode 100644 index 0000000..0e8754f --- /dev/null +++ b/lectures/6_1.tex @@ -0,0 +1,208 @@ +% !TEX root = ../main.tex + +У цьому розділі буде наведено виведення законів розподілу, що застосовуються +в задачах математичної статистики, та їх числових характеристик. + +\section{Розподіл \texorpdfstring{$\chi^2$}{x2} (Пірсона)} +\noindent\textbf{Означення:} + нехай $\xi_k \sim \mathrm{N}(a_k, \sigma_k)$, $k= 1,..., n$ --- незалежні у сукупності. + Тоді $\xi = \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{\xi_k - a_k}{\sigma_k}\right)^2$ має + розподіл \emph{$\chi^2$ (хі-квадрат, Пірсона) з $n$ ступенями вільності}. + + \noindent$\mathring{\xi}_{k} = \frac{\xi_k - a_k}{\sigma_k} \sim \mathrm{N}(0, 1)$, тому можна ще записати + $\xi = \sum\limits_{k=1}^n (\mathring{\xi}_{k})^2$. + +\noindent\textbf{Коротке позначення:} $\xi \sim \chi_n^2$, $n\in\mathbb{N}$ --- кількість ступенів вільності. + +\noindent\textbf{Щільність розподілу:} +відомо, що якщо $\eta \sim \mathrm{N}(0, 1)$, то $\eta^2 \sim \Gamma\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. +Гамма-розподіл стійкий при $\beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_n$, $\mathring{\xi}_{k}$ незалежні у сукупності, +тому $\xi = \sum\limits_{k=1}^n (\mathring{\xi}_{k})^2 \sim \Gamma\left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}\right) = \chi_n^2$. +\begin{equation*} + f_{\chi_n^2}(x) = \begin{cases} + \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}, & x \geq 0 \\ + 0, & x < 0 + \end{cases} +\end{equation*} + +\noindent \textbf{Крива розподілу:} графіки для різних значень $n$. + +\begin{tikzpicture}[yscale = 12, xscale = 0.5, baseline={(current bounding box.center)}] + \pgfmathsetmacro{\a}{2}; + \pgfmathsetmacro{\b}{0.5}; + \pgfmathsetmacro{\c}{3}; + \pgfmathsetmacro{\d}{4}; + + \draw [->] (-2, 0) -- (18.3, 0); + \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.2); + \draw [thick] (-2, 0) -- (0, 0); + \draw [domain=0:18, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\b^(\a)*\x^(\a-1)/factorial(\a-1) * e^(-\x*\b)}); + \draw [domain=0:18, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\b^(\c)*\x^(\c-1)/factorial(\c-1) * e^(-\x*\b)}); + \draw [domain=0:18, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\b^(\d)*\x^(\d-1)/factorial(\d-1) * e^(-\x*\b)}); + \node [below] at (18.2, 0) {$x$}; + \node [left] at (0, 0.2) {$f_{\chi_n^2}(x)$}; + \node [below left] at (0, 0) {$0$}; +\end{tikzpicture} + +\noindent\textbf{Числові характеристики:} +\begin{enumerate} + \item $E\chi_n^2 = \frac{n/2}{1/2} = n$. + \item $D\chi_n^2 = \frac{n/2}{1/4} = 2n$. +\end{enumerate} + +\section{Розподіл \texorpdfstring{$\chi$}{x}} +\noindent\textbf{Означення:} нехай випадкова величина $\xi$ має розподіл $\chi_n^2$. +Тоді $\eta = \sqrt{\xi}$ має розподіл +\emph{$\chi$ (хі) з $n$ ступенями вільності}. + +\noindent\textbf{Коротке позначення:} $\eta \sim \chi_n$, $n\in\mathbb{N}$ --- кількість ступенів вільності. + +\noindent\textbf{Щільність розподілу:} скористаємося формулою для визначення щільності розподілу функції від +випадкової величини. $\eta = \sqrt{\xi}$, тому позначимо $\varphi(x) = \sqrt{x}$, $\varphi^{-1}(y) = y^2$, +$\left( \varphi^{-1}(y) \right)^{\prime} = 2y$. +\begin{equation*} + f_{\chi_n}(y) = f_{\chi_n^2}\left(\varphi^{-1} (y)\right) \cdot \left|\left(\varphi^{-1} (y) \right)^{\prime}\right| = +f_{\chi_n^2}(y^2) \cdot 2y = +\begin{cases} + \frac{1}{2^{\frac{n}{2} - 1} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{n-1} e^{-\frac{y^2}{2}}, & y \geq 0 \\ + 0, & y < 0 +\end{cases} +\end{equation*} +\noindent\textbf{Числові характеристики:} +\begin{enumerate} + \item $E\chi_n = \sqrt{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$. + \item $D\chi_n = n - \left( E\chi_n \right)^2$. +\end{enumerate} + +\begin{remark} + Нескладно помітити, що $\chi_2$ --- це розподіл Релея. +\end{remark} + +\noindent Знайдемо ще розподіл $\zeta = \frac{\chi_n}{\sqrt{n}}$. $\varphi(y) = \frac{y}{\sqrt{n}}$, +$\varphi^{-1}(z) = z \sqrt{n}$, +$\left( \varphi^{-1}(z) \right)^{\prime} = \sqrt{n}$. + +\begin{equation*} + f_{\frac{\chi_n}{\sqrt{n}}}(z) = f_{\chi_n}\left(\varphi^{-1} (z)\right) \cdot \left|\left(\varphi^{-1} (y) \right)^{\prime}\right| = +f_{\chi_n}(z \sqrt{n}) \cdot \sqrt{n} = +\begin{cases} + \frac{n^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2} - 1} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} z^{n-1} e^{-\frac{nz^2}{2}}, & z \geq 0 \\ + 0, & z < 0 +\end{cases} +\end{equation*} +\begin{exercise} + Записати числові характеристики випадкової величини, що має розподіл $\frac{\chi_n}{\sqrt{n}}$. +\end{exercise} + +\section{Розподіл Стьюдента (\texorpdfstring{$t$}{t}-розподіл)} +\noindent\textbf{Означення:} якщо $\xi \sim \mathrm{N}(0, 1)$ та $\eta \sim \frac{\chi_n}{\sqrt{n}}$ незалежні, +то $\zeta = \frac{\xi}{\eta} = \frac{\xi}{\chi_n /\sqrt{n}}$ має \emph{розподіл Стьюдента з $n$ ступенями вільності}. + +\noindent\textbf{Коротке позначення:} $\zeta \sim \mathrm{St}_n$, $n\in\mathbb{N}$ --- кількість ступенів вільності. + +\noindent\textbf{Щільність розподілу:} скористаємося формулою для визначення щільності розподілу частки +двох незалежних НВВ. +\begin{gather*} + f_{\mathrm{St}_n} (z) = \int\limits_0^{+\infty} x f_{\xi}(z x) f_{\frac{\chi_n}{\sqrt{n}}} (x) dx = + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{n^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2} - 1} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} + \int\limits_0^{+\infty} x e^{-\frac{z^2 x^2}{2}} x^{n-1} e^{-\frac{nx^2}{2}} dx = \\ + = \frac{n^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\pi} 2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} + \int\limits_0^{+\infty} x^n e^{-\frac{x^2}{2}(z^2+n)} dx = + \left[ \frac{x^2}{2} (z^2 + n) = t, x = \frac{\sqrt{2} \sqrt{t}}{\sqrt{z^2 + n}}, + dx = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{z^2 + n}} \frac{dt}{\sqrt{t}}\right] = \\ + = \frac{n^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\pi} 2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \cdot + \frac{2^{\frac{n}{2}}}{(z^2 + n)^{\frac{n}{2}}} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}(z^2 + n)^{\frac{n}{2}}} + \int\limits_0^{+\infty} t^{\frac{n-1}{2}} e^{-t} dt = + \frac{n^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \cdot + \frac{1}{(z^2 + n)^{\frac{n+1}{2}}}, \; z \in \mathbb{R} +\end{gather*} +\noindent \textbf{Крива розподілу:} графіки для різних значень $n$, називаються \emph{кривими Стьюдента}. +Вони схожі на криву гауссівського розподілу, але повільніше прямують до 0 на нескінченності. + +\begin{tikzpicture}[yscale = 6, xscale = 1.3, baseline={(current bounding box.center)}] + \pgfmathsetmacro{\a}{1}; % n = 2 + \pgfmathsetmacro{\b}{12}; % n = 4 + \pgfmathsetmacro{\c}{0.318309886184}; % n = 1 + + \draw [->] (-5, 0) -- (5, 0); + \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.4); + \draw [domain=-5:5, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\a/((2+(\x)^2)^((2+1)/2))}); + \draw [domain=-5:5, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\b/((4+(\x)^2)^((4+1)/2))}); + \draw [domain=-5:5, smooth, variable = \x, thick] plot ({\x}, {\c/((1+(\x)^2)^((1+1)/2))}); + \node [below] at (5.2, 0) {$x$}; + \node [left] at (0, 0.4) {$f_{\mathrm{St}_n}(x)$}; + \node [below left] at (0, 0) {$0$}; +\end{tikzpicture} + +\noindent\textbf{Числові характеристики:} +\begin{enumerate} + \item $E\mathrm{St}_n = 0$. + \item $D\mathrm{St}_n = \frac{n}{n-2}$, $n>2$. +\end{enumerate} + +\begin{remark} + Нескладно помітити, що $\mathrm{St}_1$ --- це розподіл Коші. +\end{remark} + +\section{Розподіл Фішера-Снедекора (\texorpdfstring{$F$}{F}-розподіл)} +\noindent\textbf{Означення:} випадкова величина $\eta = \frac{\chi_{n_1}^2/n_1}{\chi_{n_2}^2/n_2}$, чисельник +та знаменник якої незалежні, має \emph{розподіл Фішера-Снедекора з $n_1$, $n_2$ ступенями вільності}. + +\noindent\textbf{Коротке позначення:} $\eta \sim \mathrm{F}(n_1, n_2)$, $n_1, n_2\in\mathbb{N}$ --- кількість ступенів вільності. + +\noindent\textbf{Щільність розподілу:} скористаємося формулою для визначення щільності розподілу частки +двох незалежних НВВ. Нагадаємо, що +$f_{\chi_n^2}(x) = \begin{cases} + \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}, & x \geq 0 \\ + 0, & x < 0 +\end{cases}$. + +\noindentТоді $f_{\chi_n^2/n}(y) = f_{\chi_n^2}(n y) \cdot n = +\begin{cases} + \frac{n^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{ny}{2}}, & y \geq 0 \\ + 0, & y < 0 +\end{cases}$. + +\begin{gather*} + f_{\mathrm{F}(n_1, n_2)} (z) = \int\limits_0^{+\infty} x f_{\chi_{n_1}^2/n_1}(zx) f_{\chi_{n_2}^2/n_2}(x) dx = \\ + = \frac{n_1^{\frac{n_1}{2}} n_2^{\frac{n_2}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} + \int\limits_0^{+\infty} x z^{\frac{n_1}{2} - 1} x^{\frac{n_1}{2} - 1} e^{-\frac{n_1 zx}{2}} x^{\frac{n_2}{2} - 1} e^{-\frac{n_2 x}{2}} dx = \\ + = \frac{n_1^{\frac{n_1}{2}} n_2^{\frac{n_2}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot + z^{\frac{n_1}{2} - 1} \int\limits_0^{+\infty} x^{\frac{n_1 + n_2}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}(n_1 z + n_2)} dx = + \left[ \frac{x}{2}(n_1 z + n_2) = t, x = \frac{2t}{n_1 z + n_2}\right] = \\ + = \frac{n_1^{\frac{n_1}{2}} n_2^{\frac{n_2}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}} \Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot + z^{\frac{n_1}{2} - 1} \cdot 2^{\frac{n_1+n_2}{2}} \cdot \frac{1}{(n_1 z + n_2)^{\frac{n_1+n_2}{2}}} + \int\limits_0^{+\infty} t^{\frac{n_1+n_2}{2} - 1} e^{-t} dt = \\ + = n_1^{\frac{n_1}{2}} n_2^{\frac{n_2}{2}} \frac{\Gamma\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot + \frac{z^{\frac{n_1}{2} - 1}}{(n_1 z + n_2)^{\frac{n_1+n_2}{2}}}, \; z \geq 0 \text{ та } 0 \text{ інакше}. +\end{gather*} + +\noindent \textbf{Крива розподілу:} графіки для різних значень $n_1$, $n_2$, називаються \emph{кривими Фішера}. + +\begin{center} + \begin{tikzpicture}[yscale = 6, xscale = 3, baseline={(current bounding box.center)}] + \pgfmathsetmacro{\a}{3.30797337253}; % n1 = 3, n2 = 1 + \pgfmathsetmacro{\b}{64}; % n1 = 4, n2 = 2 + \pgfmathsetmacro{\c}{68.7549354157}; % n = 1 + + \draw [->] (-0.5, 0) -- (4, 0); + \draw [->] (0, -0.05) -- (0, 0.7); + \draw [domain=0:4, smooth, variable = \x, thick, samples = 200] plot ({\x}, {\a*((\x)^(3/2 - 1))/(3*\x + 1)^((3+1)/2)}); + \draw [domain=0:4, smooth, variable = \x, thick, samples = 400] plot ({\x}, {\b*((\x)^(4/2 - 1))/(4*\x + 2)^((4+2)/2)}); + \draw [domain=0:4, smooth, variable = \x, thick, samples = 200] plot ({\x}, {\c*((\x)^(3/2 - 1))/(3*\x + 3)^((3+3)/2)}); + \node [below] at (4, 0) {$x$}; + \draw [thick] (-0.5, 0) -- (0, 0); + \node [left] at (0, 0.7) {$f_{\mathrm{F}(n_1, n_2)}(x)$}; + \node [below left] at (0, 0) {$0$}; + \end{tikzpicture} +\end{center} + +\noindent\textbf{Числові характеристики:} +\begin{enumerate} + \item $E\mathrm{F}(n_1, n_2) = \frac{n_2}{n_2 - 2}$, $n_2 > 2$. + \item $D\mathrm{F}(n_1, n_2) = \frac{2 n_2^2 (n_1 + n_2 - 2)}{n_1 (n_2 - 2)^2 (n_2 -4)}$, $n_2>4$. +\end{enumerate} + +\begin{remark} + Якщо $\eta \sim \mathrm{F}(n_1, n_2)$, то $\frac{1}{\eta} \sim \mathrm{F}(n_2, n_1)$. +\end{remark} \ No newline at end of file diff --git a/main.tex b/main.tex index 0b7fb52..8157900 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -30,7 +30,7 @@ \input{lectures/5_1.tex} \input{lectures/5_2.tex} \chapter{Основні розподіли математичної статистики} - %\input{lectures/6_1.tex} + \input{lectures/6_1.tex} %\chapter{Граничні теореми теорії ймовірності} %\input{lectures/7_1.tex} \chapter*{Таблиця значень функції Лапласа}