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<!doctype html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="utf-8">
<title>Esc. Externos</title>
<meta name="description" content="A framework for easily creating beautiful presentations using HTML">
<meta name="author" content="Hakim El Hattab">
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<body>
<div class="reveal">
<div class="slides">
$\newcommand{\Vol}{\rotatebox[origin=c]{180}{\ensuremath{A}}}$
$\newcommand{\vv}[1]{\overset{→}{#1}}$
$\require{cancel}$
<section>
<h1>Camada Limite</h1>
<h3>Mecânica dos Fluidos 2</h3>
<p>
<small>Prof. <a href="http://paginapessoal.utfpr.edu.br/mlourenco/fenomenos-de-transporte">Marcos Lourenço</a></small>
</p>
</section>
<section>
<h3>Hipóteses para a camada limite</h3><br>
<ul>
<li> $u\to U$ em $y=\delta$;</li><br>
<li class="fragment "> $\partial u/\partial y\to 0$ em $y=\delta$;</li><br>
<li class="fragment "> $v \ll U$ para $y\leq \delta$.</li>
</ul>
</section>
<section>
<h4>Exemplo: <em>Escoamento em um Canal</em></h4>
<figure>
<img alt="" src="./images/figex09001.svg" height="450" style="border: none;box-shadow: none;">
<figcaption class="fragment"><font color="#2c72c7">Determinar $\Delta p$ como uma fração da pressão dinâmica na corrente livre na entrada.</font></figcaption>
</figure>
</section>
<section>
<h3>Solução de Blasius</h3>
<br>
<p class="fragment
grow">\(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\)</p><br>
<p class="fragment grow">\(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\)<p><br>
<p class="fragment">em $y=0$, $u=0$ e $v=0$</p>
<p class="fragment">em $y=\infty$, $u=U$ e $\frac{\partial u}{\partial y}=0$</p><br>
</section>
<section>
<h3>Solução de Blasius</h3><br>
<img src="images/blasius.jpg" width="30%" style="float: right">
<p class="fragment grow">$\eta=y\sqrt{\frac{U}{\nu x}}$</p><br>
<p class="fragment grow">$f(\eta)=\frac{\psi}{\sqrt{\nu x U}}$<p><br>
<p class="fragment">$u = \frac{\partial \psi}{\partial y}\quad $ e $\quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$</p>
</section>
<section>
<h3>Solução de Blasius</h3><br>
<p id="esquerda">Isolando as componentes de velocidade:</p><br><br><br>
<p class="fragment roll-in">\(u=U\frac{df}{d\eta}\)</p><br>
<p class="fragment roll-in">\(v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu U}{x}}\left[\eta\frac{df}{d\eta}-f\right]\)<p><br>
</section>
<section>
<h3>Solução de Blasius</h3><br>
<p id="esquerda">Substituindo na Eq. da Continuidade:</p><br><br>
<p class="fragment">$2f'''+f f''=0$</p><br>
<p class="fragment">em $\eta=0$, $\quad f=\frac{d f}{d \eta}=0$</p>
<p class="fragment">em $\eta\to\infty$, $\quad u=U\quad$ e $\quad \frac{d f}{d \eta}=1$</p><br>
</section>
<section>
<h3>Solução de Blasius</h3>
<figure>
<img id="noborder" width="1920px" src="images/blasiusresults.png"/>
</figure>
</section>
<section>
<h3>Solução de Blasius</h3><br>
<p id="esquerda">Da solução, para $\,\eta=5$, $\,u/U=0,992\,$ e tem-se:</p><br><br>
<p class="fragment">$\delta\approx\frac{5,0}{\sqrt{U/\nu x}}\quad\to\quad\frac{\delta}{x}=\frac{5,0}{\sqrt{Re_x}}$</p><br>
<p class="fragment">$C_f=\frac{\tau_w}{\frac{1}{2}\rho U^2}=\frac{0,664}{\sqrt{Re_x}}$</p>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral da Camada Limite</h3><br>
<figure>
<img id="noborder" alt="" src="./images/fig09004.svg" height="500">
</figure>
</section>
<section data-transition="fade-in none-out">
<h3>Solução Integral da Camada Limite</h3><br>
<p>Aplicando as equações de <em>conservação da massa</em>:</p>
<p>$\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho d\Omega+\int_{SC}\rho \vv{V}\cdot d\vv{A}=0$</p><br>
<p class="fragment">e da <em>quantidade de movimento</em>:
<span>$F_{Sx}+F_{Bx}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}u\rho d\Omega+\int_{SC}u\rho \vv{V}\cdot d\vv{A}$</span></p>
</section>
<section data-transition="none-in fade-out">
<h3>Solução Integral da Camada Limite</h3><br>
<p>Aplicando as equações de <em>conservação da massa</em>:</p>
<p>$\cancelto{0}{\frac{\partial}{\partial t}}\int_{VC}\rho d\Omega+\int_{SC}\rho \vv{V}\cdot d\vv{A}=0$</p><br>
<p>e da <em>quantidade de movimento</em>:</p>
<span>$F_{Sx}+\cancelto{0}{F_{Bx}}=\cancelto{0}{\frac{\partial}{\partial t}}\int_{VC}u\rho d\Omega+\int_{SC}u\rho \vv{V}\cdot d\vv{A}$</span>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Continuidade)</h3><br>
<p id="esquerda">Da equação de conservação da massa:</p><br>
<p>$\int_{SC}\rho \vv{V}\cdot d\vv{A}=0$</p><br>
<div class="fragment fade">
<p id="esquerda">ou ainda,</p><br>
<p>$\dot{m}_{bc}=-\dot{m}_{ab}-\dot{m}_{cd}$</p>
</div>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Continuidade)</h3><br>
<p id="esquerda">Assim, tem-se para os fluxos, na face `ab`:</p><br>
<p>$\dot{m}_{ab}=-\left(\int_{0}^{\delta}\rho u\,dy\right)w$</p>
<div class="fragment fade">
<p id="esquerda">e em `cd`:</p><br>
<p>$\dot{m}_{cd}=\left[\int_{0}^{\delta}\rho u\,dy+
\frac{\partial}{\partial x}\left(\int_{0}^{\delta}\rho u\,dy\right)dx\right]w$</p>
</div>
<div class="fragment fade">
<p id="esquerda">e ainda, para a conservação da massa temos, em `bc`:</p><br>
<p>$\dot{m}_{cd}=-\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\int_{0}^{\delta}\rho u\,dy\right)dx\right]w$</p>
</div>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Quantidade de Movimento)</h3><br>
<p id="esquerda">Da Eq. de Quantidade de Movimento em `x`:</p><br>
<p>$F_{S,x}=mf_{ab}+mf_{bc}+mf_{cd}$</p>
<div class="fragment fade">
<p id="esquerda">que foi simplificada de,</p><br>
<p>$F_{S,x}=\int_{SC}u\rho \vv{V}\cdot d\vv{A}$</p>
</div>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Quantidade de Movimento)</h3><br>
<p id="esquerda">E os fluxos de Q.M. nas faces `ab`, `cd` e `bc` ficam,</p><br>
<p>$\dot{m}_{ab}=-\left(\int_{0}^{\delta}u\rho u\,dy\right)w$,</p>
<div class="fragment fade">
<p>$\dot{m}_{cd}=\left[\int_{0}^{\delta}u\rho u\,dy+
\frac{\partial}{\partial x}\left(\int_{0}^{\delta}u\rho u\,dy\right)dx\right]w$,</p>
<p id="esquerda">e,</p><br>
</div>
<div class="fragment fade">
<p>$\dot{m}_{cd}=-U\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\int_{0}^{\delta}\rho u\,dy\right)dx\right]w$</p>
<p id="esquerda">respectivamente.</p><br>
</div>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Quantidade de Movimento)</h3><br>
<p id="esquerda">Então o fluxo líquido de Q.M. em `x` será:</p><br><br>
<p>$$\begin{align}
\int_{SC}u\rho \vv{V}\cdot d\vv{A} &= \left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\int_{0}^{\delta}u\rho u\,dy\right)dx +\right.\nonumber \\
& \left. -U\frac{\partial}{\partial x}\left(\int_{0}^{\delta} \rho u\,dy\right)dx\right]w \nonumber
\end{align}$$</p>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Quantidade de Movimento)</h3><br>
<p id="esquerda">Do somatório de forças de superfície em `x` temos:</p><br><br>
<p>$$\begin{align}
F_{S,x}=\left[-\frac{dp}{dx}\delta dx-\frac{1}{2}\frac{dp}{dx}\cancelto{0}{d\delta\,dx}
\!\!\!\!-\tau_w\,dx-\frac{1}{2}\cancelto{0}{d\tau_w}\!\!dx\right]\!\!w \nonumber
\end{align}$$</p>
<div class="fragment fade">
<p id="esquerda">na qual o segundo e quarto termos foram desprezados</p><br>
<p id="esquerda">pois:</p><br>
<p>$$\begin{align}
d\delta\,dx \ll \delta\,dx\quad \mbox{e} \quad d\tau_w \ll \tau_w
\end{align}$$</p>
</div>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Quantidade de Movimento)</h3><br>
<p id="esquerda">Substituindo a força e o fluxo líquido de Q.M. em `x` vem:</p><br><br>
<p>$$\begin{align}
-\delta\frac{dp}{dx}-\tau_w=\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{\delta}u\rho u\,dy-U\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{\delta} \rho u\,dy
\end{align}$$</p>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Quantidade de Movimento)</h3><br>
<p id="esquerda">Usando que:</p><br><br>
<p>$dp/dx=-\rho U dU/dx$</p>
<p id="esquerda">e que:</p><br>
<p>$$\begin{align}
U\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{\delta} \rho u\,dy=\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{\delta}U\rho u\,dy-\frac{dU}{dx}\int_{0}^{\delta} \rho u\,dy
\end{align}$$</p>
</section>
<section>
<h3>Solução Integral (Quantidade de Movimento)</h3><br>
<p id="esquerda">A <em>equação integral da quantidade de movimento</em> fica:</p><br><br>
<p>$$\begin{align}
\frac{\tau_w}{\rho}=\frac{d}{dx}\left(U^2\theta\right)+\delta^*U\frac{dU}{dx}
\end{align}$$</p>
</section>
<!--section>
<h3>Solução Integral da Camada Limite</h3><br>
<p id="esquerda">Deve-se chegar a uma expressão da forma:</p><br>
<p>$\tau_{w}=\frac{\partial}{\partial x}U^{2}\int_{0}^{\delta}\rho\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy+U\frac{dU}{dx}\int_{0}^{\delta}\rho\left(1-\frac{u}{U}\right)dy$</p><br>
<div class="fragment fade-up"><p id="esquerda">Substituindo as expressões para as espessuras $\delta^*$ e $\theta$:</p><br>
<p>$\frac{\tau_{w}}{\rho}=\frac{\partial}{\partial x}\left(U^{2}\theta\right)+\delta^{*}U\frac{dU}{dx}$</p>
</div>
</section-->
<section>
<h3>Solução Integral da Camada Limite</h3><br>
<p id="esquerda">Passos da solução integral da camada limite:</p><br><br>
<ol>
<li class="fragment">Obter uma uma primeira aproximação para $U(x)$;</li>
<li class="fragment">Considerar um perfil razoável de velocidade na camada limite;</li>
<li class="fragment">Deduzir uma expressão para $\tau_w$ a partir do item 2.</li>
</ol>
</section>
<section>
<h3>Exemplo: Gradiente de Pressão Zero</h3><br>
<p id="esquerda">Nesse caso, como $U(x)=U$, a equação fica:</p><br>
<p>$\tau_{w}=\rho U^{2}\frac{\partial\theta}{\partial x}=\rho U^{2}\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{\delta}\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy$</p><br>
<div class="fragment fade-up"><p id="esquerda">Se aplicar um perfil de velocidade laminar:</p><br>
<p>$u=ay^2+by+c$</p>
</div>
</section>
<section>
<h3>Exemplo: Gradiente de Pressão Zero</h3><br>
<p id="esquerda">Para as seguintes condições de contorno:</p><br><br>
<p>em $\quad y=0,\qquad u=0$</p><br>
<p>em $\quad y=\delta,\qquad u=U$</p><br>
<p>em $\quad y=\delta,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0$</p><br>
</section>
<section>
<h3>Exemplo: Gradiente de Pressão Zero</h3><br>
<p id="esquerda">Avaliando as constantes `a`, `b` e `c` temos:</p><br>
<p>$$\begin{align}
\frac{u}{U}=2\left(\frac{y}{\delta}\right)-\left(\frac{y}{\delta}\right)^2=2\eta-\eta^2
\end{align}$$</p>
<p id="esquerda">observando ainda que:</p><br>
<p>$$\begin{align}
\tau_w=\mu\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y_0}=\frac{2\mu U}{\delta}=\rho U^{2}\frac{d\delta}{dx}\int_{0}^{1}\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)d\eta
\end{align}$$</p>
</section>
<section>
<h3>Exemplo: Gradiente de Pressão Zero</h3><br>
<p id="esquerda">Integrando a última equação temos:</p><br>
<p>$$\begin{align}
\delta d\delta=\frac{15\mu}{\rho U}dx
\end{align}$$</p>
<p id="esquerda">que pode novamente ser integrada para:</p><br>
<p>$$\begin{align}
\frac{\delta^2}{2}=\frac{15\mu}{\rho U}x+c
\end{align}$$</p>
</section>
<section>
<h3>Exemplo: Gradiente de Pressão Zero</h3><br>
<p id="esquerda">Chegamos aos seguintes resultados:</p><br>
<p>$\frac{\delta}{x}=\sqrt{\frac{30\nu}{Ux}}=\frac{5,48}{\sqrt{Re_{x}}}$</p><br>
<div class="fragment fade-up"><p id="esquerda">e,</p><br>
<p>$\qquad\qquad \qquad C_{f}=\frac{0,730}{\sqrt{Re_{x}}}\qquad \left(C_f\equiv\frac{\tau_w}{\frac{1}{2}\rho U^2}\right)$</p>
</div>
</section>
<section data-transition="slide">
<h3>Exemplo: Gradiente de Pressão Zero - Turbulento</h3><br>
<p id="esquerda">A equação geral é a mesma anterior mas:</p><br>
<p>$\frac{u}{U}=\left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}=\eta^{1/7}$</p><br>
<div class="fragment fade-up"><p id="esquerda">e a tensão usada é aquela do escoamento num tubo:</p><br>
<p>$\tau=0,0332\rho\bar{V}\left[\frac{\nu}{R\bar{V}}\right]^{1/4}\quad \text{e} \quad\frac{\bar{V}}{U}=0,817$</p>
</div>
</section>
<section data-transition="convex">
<h3>Exemplo: Gradiente de Pressão Zero</h3><br>
<p id="esquerda">E, para um escoamento turbulento:</p><br>
<p>$\frac{\delta}{x}=0,382\left(\frac{\nu}{Ux}\right)^{1/5}=\frac{0,382}{Re_{x}^{1/5}}$</p><br>
<div class="fragment fade-up"><p id="esquerda">e,</p><br>
<p>$C_{f}=\frac{0,0594}{Re_{x}^{1/5}}$</p>
</div>
</section>
<section>
<h3>Camada Limite com Gradiente de Pressão</h3><br>
<p id="esquerda">Seria possível em algum ponto que \(\partial u/\partial y)_{y=0}=0\)?</p><br><br>
<div class="fragment" style="float:left">
<em>Escoamento laminar:<br><br> \(\frac{\tau_{w}(x)}{\rho U^{2}}=\frac{constante}{Re_{x}^{1/2}}\)</em>
</div>
<div class="fragment" style="float:right">
<em>Escoamento turbulento:<br><br> \(\frac{\tau_{w}(x)}{\rho U^{2}}=\frac{constante}{Re_{x}^{1/5}}\)<br></em>
</div>
<div class="fragment" style="clear:both;">
<p>Ou seja, para qualquer comprimento, nunca haverá descolamento se \(\partial p/\partial x=0\)</p><br><br>
</div>
</section>
<section>
<h3>Camada Limite com Gradiente de Pressão</h3><br>
<ul style="list-style-type:none">
<li class="fragment"><em><font style="text-shadow:2px 2px #BBBBBB">Gradiente de pressão favorável:</font></em>
<p>A pressão diminui no sentido do escoamento \(\partial p/\partial x < 0\).</p>
</li>
<li class="fragment"><em><font style="text-shadow:2px 2px #BBBBBB">Gradiente de pressão adverso:</font></em>
<p>A pressão aumenta no sentido do escoamento $\partial p/\partial x > 0$.</p>
</li>
<ul>
</section>
<section>
<h3>Camada Limite com Gradiente de Pressão</h3><br>
<figure>
<img id="noborder" alt="" src="./images/fig09006.svg" height="400">
</figure>
</section>
<section>
<h3>Camada Limite com Gradiente de Pressão</h3>
<figure>
<img id="noborder" alt="" src="./images/camadaturbulenta.png" height="400">
<figcaption><font>Fotos por R. Falco, em Head & Bandyopadhyay (1981).</font></figcaption>
</figure>
</section>
<section>
<h3>Camada Limite com Gradiente de Pressão</h3><br>
<figure>
<img id="noborder" alt="" src="./images/fig09007.svg" height="400">
</figure>
</section>
<section>
<h3>Camada Limite com Gradiente de Pressão</h3><br>
<div><p id="esquerda">De uma forma geral:</p><br>
<p>$\frac{\tau_{w}}{\rho}=U^{2}\frac{d \theta}{d x}+\left(\delta^{*}+2\theta\right)U\frac{dU}{dx}$</p>
<div class="fragment fade-left"><p id="esquerda">ou ainda:</p><br>
<p>$\frac{\tau_{w}}{\rho U^2}=\frac{C_{f}}{2}=\frac{d \theta}{d x}+\left(H+2\right)\frac{\theta}{U}\frac{dU}{dx}$</p>
<div class="fragment fade-left"><p id="esquerda">na qual $H$ é o <em>fator de forma</em>.</p><br>
</section>
<section data-transition="zoom">
<h4 id="esquerda">Resumo</h4>
<figure>
<img id="noborder" alt="" src="./images/complexos.png" height="400">
<figcaption><font>"Understanding Aerodynamics" Doug McLean (2016).</font></figcaption>
</figure>
</section>
<section>
<div class="container">
<h1 class="fragment fade-in current-fragment" data-fragment-index="0">Dúvidas?</h1>
<hr class="fragment visible current-fragment" data-fragment-index="0">
<p>Apresentação na <a href="http://paginapessoal.utfpr.edu.br/mlourenco/fenomenos-de-transporte">@paginapessoal</a>
<br>Livro texto: <a href="http://www.saraiva.com.br/introducao-a-mecanica-dos-fluidos-8-ed-2014-6975691.html">Fox - Introdução à mecânica dos fluidos</a>
</p>
<hr class="fragment visible current-fragment" data-fragment-index="0">
<p class="fragment visible current-fragment" data-fragment-index="0">
</p>
</div>
</section>
</div>
</div>
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// More info https://github.com/hakimel/reveal.js#configuration
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config: 'TeX-MML-AM_SVG' // See http://docs.mathjax.org/en/latest/config-files.html
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// More info https://github.com/hakimel/reveal.js#dependencies
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