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Català (CA)

Siga $X$ un espai topològic. Siguen $A$ i $B$ grups. Suposem que $R$ és un anell tal que $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Aleshores $R$ és únic. A més, si $S$ és un subanell d'$R$, aleshores $S$ és noetherià. Per a que $X$ siga compacte, és necessari i suficient que $R$ satisfaça la següent propietat: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, on $\mathbb{Z}$ és l'anell d'enters.

Deutsch (DE)

  1. Sei $X$ ein topologischer Raum und seien $A$ sowie $B$ Gruppen. Angenommen, es gibt einen Ring $R$ sodass $\mathrm{Hom}(A,R) = B$ gilt. Dann ist $R$ eindeutig dadurch bestimmt. Wenn $S$ ein Unterring von $R$ ist, dann ist $S$ noethersch. Die folgenden Bedinung ist notwendig und hinreichend damit $X$ kompakt ist: $R = \mathbb{Z}[x,y,z]$, wobei $\mathbb{Z}$ die ganzen Zahlen sind.

  2. Sei $X$ ein topologischer Raum. Seien $A$ und $B$ Gruppen. Angenommen, $R$ ist ein Ring, so dass $\mathrm{Hom}(A,R)=B$, dann ist $R$ bereits eindeutig bestimmt. Ist weiter $S$ ein Unterring von $R$, so ist $S$ noethersch. $X$ ist kompakt, genau dann wenn $R$ die folgende Eigenschaft erfüllt: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, wobei $\mathbb{Z}$ den Ring der ganzen Zahlen bezeichne.

  3. Sei $X$ ein topologischer Raum. Seien $A$ und $B$ zwei Gruppen. Ist $R$ ein Ring, für den §\mathrm{Hom}(A.B)=B$ gilt, dann ist $R$ eindeutig. Ist darüber hinaus $S$ ein Unterring von $R$, dann ist $S$ noethersch. Die folgende Eigenschaft von $R$ ist notwendig und hinreichend dafür, dass $X$ kompakt ist: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, wobei $\mathbb{Z}$ der Ring der ganzen Zahlen ist.

  4. Sei $X$ ein topologischer Raum. Seien $A$ und $B$ Gruppen. Angenommen $R$ sei ein Ring mit $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Dann ist $R$ eindeutig. Außerdem gilt, falls $S$ eine Unterring von $R$ ist, dass $S$ noethersch ist. Damit $X$ kompakt ist, ist es sowohl nötig als auch hinreichend, dass $R$ die folgende Bedingung erfüllt: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, wobei $\mathbb{Z}$ hier der Ring der ganzen Zahlen ist.

  5. Sei $X$ ein topologischer Raum. Seien $A$ und $B$ Gruppen. Angenommen, $R$ ist ein Ring, sodass gilt $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Dann ist $R$ eindeutig bestimmt. Ist ausserdem $S$ ein Unterring von $R$, dann ist $S$ noethersch. Damit $X$ kompakt ist, ist es notwendig und hinreichend, dass $R$ die folgende Bedingung erfüllt: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, wobei $\mathbb{Z}$ der Ring ganzer Zahlen ist.

English (EN)

Let $X$ be a topological space. Let $A$ and $B$ be groups. Suppose that $R$ is a ring such that $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Then $R$ is unique. Furthermore, if $S$ is a subring of $R$, then $S$ is Noetherian. For $X$ to be compact, is it necessary and sufficient for $R$ to satisfy the following property: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, where $\mathbb{Z}$ is the ring of integers.

Español (ES) (Spain)

Sea $X$ un espacio topológico. Sean $A$ y $B$ grupos. Supongamos que $R$ es un anillo tal que $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Entonces $R$ es único. Además, si $S$ es un subanillo de $R$, entonces $S$ es noetheriano. Para que $X$ sea compacto, es necesario y suficiente que $R$ satisfaga la siguiente propiedad: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, donde $\mathbb{Z}$ es el anillo de los enteros.

Euskara (EU)

Izan bedi $X$ espazio topologiko bat. Izan bitez $A$ eta $B$ bi talde. Demagun $R$ eraztuna dela non $\mathrm{Hom}(A,R)=B$ den. Orduan $R$ bakarra da. Gainera, baldin eta $S$ $R$-ren azpieraztuna bada, orduan $S$ noetherrena da. $X$ trinkoa izan dadin, baldintza nahikoa eta beharrezkoa da $R$-k ondoko propietatea betetzea: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, non $\mathbb{Z}$ zenbaki osoen eraztuna den.

فارسی (FA)

$X$ یک فضای توپولوژیک است. $A$ و $B$ گروه هستند. فرض کنید $R$ یک حلقه باشد به‌گونه‌ای که $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. آن‌گاه $R$ یکتا است. به‌علاوه، اگر $S$ یک زیرحلقه از $R$ باشد آن‌گاه $S$ نوتری است. برای آن که $X$ فشرده باشد، لازم و کافی است که $R$ خاصیت زیر را ارضا کند: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$، که $\mathbb{Z}$ حلقه‌ی اعداد صحیح است.

Suomi (FI)

Olkoon $X$ topologinen avaruus. Olkoon $A$ ja $B$ ryhmiä. Oletetaan, että $R$ on ryhmä, jolle pätee $\mathrm{Hom}(A,R)=B$.Silloin $R$ is yksikäsitteinen. Lisäksi, jos $S$ on $R$:n alirengas, $S$ on Noetherin rengas. $X$ on kompakti jos ja vain jos $R$:n täyttää seuraavan ehdon: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, jossa $\mathbb{Z}$ on kokonaislukujen rengas.

Français (FR)

Soit $X$ un espace topologique. Soient $A$ et $B$ groupes. Supposons que $R$ est un anneau tel que $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Alors $R$ est unique. En outre, si $S$ est un sous-anneau de $R$, alors $R$ est noétherian. Pour que $X$ soit compact, il faut et il suffit que $R$ vérifie la propriété suivante: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, où $\mathbb{Z}$ est l'anneau des entiers.

Italiano (IT)

Sia $X$ uno spazio topologico. Siano $A$ e $B$ gruppi. Supponi che $R$ sia un anello tale che $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Allora $R$ è unico. Inoltre, se $S$ è un sottoanello di $R$, allora $S$ è Noetheriano. Perché $X$ sia compatto, è necessario e sufficiente che $R$ soddisfi la seguente proprietà: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, dove $\mathbb{Z}$ è l'anello degli interi.

日本語 (JA)

  1. $X$ を位相空間とする. $A$ と $B$ を群とする. $R$ は環であり, $\mathrm{Hom}(A,R)=B$ を満たすと仮定する. このとき, $R$ は一意的に定まる. 更に, $S$ が $R$ の部分環であれば, $S$ はネーター的である. $X$ がコンパクトであるためには, $R$ が以下の性質を満たすことが必要かつ十分である: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, ただし $\mathbb{Z}$ で整数環を表した.

  2. $X$を位相空間とする．$A$と$B$を群とする．$R$は環で，$\mathrm{Hom}(A,R)=B$を満たすとする．このとき$R$は一意的である．さらに，$S$が$R$の部分環であれば，$S$はネーターである．$X$がコンパクトであるための必要十分条件は$R$が次をみたすことである：$R=\mathbb{Z}[x,y,z].$ここで$Z$は整数環である

한국어 (KO)

$X$를 위상공간이라 하자. $A$와 $B$를 군이라 하자. $R$은 $\mathrm{Hom}(A,R)=B$인 환이라 하자. 그렇다면, $R$은 유일하다. 더불어서, 만약 $S$가 $R$의 부분환이라면, $S$는 뇌터 환이다. $X$가 옹골찬 공간일 필요 충분조건은 $R$이 다음 조건을 만족하는 경우이다: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$ 이때 $\mathbb{Z}$는 정수 환을 의미한다.

Polski (PL)

  1. Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Niech $A$ i $B$ będą grupami. Załóżmy, że $R$ jest pierścieniem, takim że $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Wtedy $R$ jest jedynym takim pierścieniem. Co więcej, jeśli $S$ jest podpierścieniem $R$ to $S$ jest pierścieniem noetherowskim. Warunkiem koniecznym i dostatecznym zwartości $X$ jest aby $R$ zachowywało następującąwłasność: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, gdzie $\mathbb{Z}$ jest pierścieniem liczb całkowitych.

  2. Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Niech $A$ i $B$ będą grupami. Założmy, że $R$ jest pierścieniem takim, że $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Wtedy $R$ jest jednoznacznie wyznaczone. Ponadto, jeśli $S$ jest podpierścieniem $R$, wówczas $S$ jest noetherowskie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na zwartość przestrzeni $X$ jest spełnianie przez $R$ następującej własności: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, gdzie $\mathbb{Z}$ jest pierścieniem lczb całkowitych.

Português (PT) (Brazil)

Seja $X$ um espaço topológico. Sejam $A$ e $B$ grupos. Suponha que $R$ seja um anel tal que $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Então $R$ é único. Além disso, se $S$ for um subanel de $R$, então $S$ é Noetheriano. Para que $X$ seja compacto, é necessário e suficiente que $R$ satisfaça a seguinte propriedade: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, em que $\mathbb{Z}$ é o anel de inteiros.

Pусский (RU)

Пусть $X$ -- топологическое пространство. Пусть $A$ и $B$ -- группы. Предположим, что $R$ -- кольцо, такое что $\mathrm{Hom}(A,R)=B$. Тогда $R$ единственно. Более того, если $S$ -- подкольцо $R$, то $S$ нетерово. Чтобы $X$ было компактным, необходимо и достаточно, чтобы $R$ удовлетворяло следующему свойству: $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$, где $\mathbb{Z}$ -- кольцо целых чисел.

Türkçe (TR)

  1. $X$ topolojik bir uzay olsun. $A$ ve $B$ iki grup olsun. Varsayalım ki $R$ bir halka ve $\mathrm{Hom}(A,R) = B$. O zaman $R$ biriciktir. Ayrıca, $S \subseteq R$ bir althalka ise, $S$ Noether halkadır. $X$'in tıkız olması için gerek ve yeter koşul $R = \mathbb{Z}[x,y,z]$ olmasıdır (burada $\mathbb{Z}$ tamsayısılar halkası).

  2. $X$ bir topoloji uzay olsun. $A$ ve $B$ birer grup olsun. Diyelim ki $R$, $\mathrm{Hom}(A,B)=B$ koşulunu sağlayan bir halka. Ayrıca, eğer $S$, $R$'nin bir althalkasıysa, $S$ Nöteryen. $X$'in kompakt olması için $R$'nin şu koşulu sağlaması gerekli ve yeteridir: $\mathbb{Z}$ tamsayılar halkası olmak üzere $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$ .

  3. $X$ bir topolojik uzay olsun. $A$ ve $B$ iki grup olsun. Diyelim ki $R$, $\mathrm{Hom}(A,R)=B$ olacak şekilde bir halka olsun. Dahası, eğer $S$, $R$'nin bir althalkası ise $S$ Noetheryandır. $X$'in tıkız olması için, $R$'nin şu koşulu sağlaması gerek ve yeterlidir: $\mathbb{Z}$ tam sayılar halkası olmak üzere, $R=\mathbb{Z}[x,y,z]$.

汉语 (ZH)

令 $X$ 为一拓扑空间。令 $A$ 和 $B$ 为两个群。假设 $R$ 是一个环且满足 $\mathrm{Hom}(A,R)=B$。 那么 $R$ 唯一。并且如果 $S$ 是 $R$ 的一个子环，那么 $S$ 是诺特环。$X$紧致的充分必要条件是如下性质：$R=\mathbb{Z}[x,y,z]$，其中$\mathbb{Z}$是整数环。