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Erros heteroscedástico-consistentes |
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09/06/2019 |
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a4paper, 12pt |
article |
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ABNT_UFPR_2011-Mendeley.csl |
Teoria e simulações |
bibliography.bib |
A homoscedasticidade é uma das hipóteses que devem ser necessariamente verificadas na inferência clássica. A ausência da homoscedasticidade, ou seja, a heteroscedasticidade, no entanto, não invalida completamente um modelo de regressão linear, pois a heteroscedasticidade se relaciona apenas aos erros do modelo, o que afeta o cômputo dos intervalos de confiança das previsões e dos coeficientes do modelo, mas não invalida os valores centrais dos mesmos, ou seja, mesmo que um modelo contenha erros heteroscedásticos, este modelo pode ser utilizado para fazer previsões, desde que não se esteja interessado nos seus intervalos de confiança. Na Engenharia de Avaliações, contudo, frequentemente ou quase sempre, existe interesse em avaliar o grau de precisão do modelo, ou mesmo o grau de fundamentação de um laudo. Dado que estes enquadramentos normativos são feitos com a utilização dos intervalos de confiança das estimativas, ou com os p-valores dos testes de hipótese realizado pelos regressores, a utilização de modelos com erros heteroscedásticos nesta área torna-se complicada, o que não significa que isto seja impossível. Infelizmente a NBR14.653-2 não aborda este assunto, mas acredita-se que, mesmo assim, é possível se utilizar de modelos heteroscedásticos e ainda estar de acordo com a norma. Demonstrar como isso pode ser feito é o objetivo deste artigo.
Segundo Long [-@Long, 5], na regressão linear, a variância do estimador MQO
A adoção da hipótese da homoscedasticidade na inferência clássica, em conjunto com a hipótese da independência dos erros, pode ser resumida na equação abaixo:
Diversos testes foram desenvolvidos visando a detecção da heteroscedasticidade, dentro os quais citamos o teste de Goldfeld-Quandt [@GQ], o teste de Park [-@Park], o teste de Glejser [-@glejser], o teste de Breusch-Pagan [@BP] e o teste de White [-@white1980].
Deve-se salientar que nenhum dos testes mencionados pode ser considerado melhor do que o outro, porque, conforme será visto, cada um deles testa uma hipótese em particular para a estrutura do erro. O teste de Breusch-Pagan, por exemplo, assume que a estrutura da variância do termo de erro seja linear, sendo muito eficiente para detectar este tipo de heteroscedasticidade. Se, no entanto, se estiver lidando com uma estrutura não-linear do termo de erro, este teste não será eficaz, sendo o teste de White melhor para estes casos.
O teste de Goldfeld-Quandt [@GQ] é aplicável a grandes amostras e consiste em omitir algumas amostras do modelo e comparar a estrutura da variância do termo de erro em diferentes subgrupos.
O teste de Park [-@Park] assume que a variância do termo de erro é proporcional ao quadrado da variável independente. Desta maneira, o teste de Park consiste em estimar os resíduos da equação de regressão e então fazer uso de uma regressão destes resíduos em relação à variável dependente, da seguinte maneira:
O teste de Breusch-Pagan [@BP] consiste em assumir que a estrutura da variância do termo de erro seja linear em função das variáveis independentes do modelo. Assim, o método consiste em estimar a variância do erro à partir do quadrado dos resíduos da regressão linear e efetuar então uma regressão auxiliar deste termo em função dos regressores do mesmo modelo. Calcula-se o valor do coeficiente de determinação deste modelo auxiliar e aplica-se o teste do
O teste de White [-@white1980] consiste numa aplicação do teste de Breusch-Pagan, porém com a adição dos termos quadráticos e de interação do modelo original. Obviamente, o teste de White necessita de um número maios de graus de liberdade no modelo para ter eficácio, haja vista que a regressão auxiliar necessitará de diversos graus de liberdade.
Ocorre que apenas raramente os dados do mundo real podem ser considerados homoscedásticos e independentes, o que faz com que procedimentos especiais tenham que ser tomados para a utilização do estimador MQO. A tentativa de se contornar a heteroscedasticidade pode ser feita de diversas formas, algumas mais trabalhosas, outras mais complexas, outras causando maior distorção ao modelo.
Na Engenharia de Avaliações, a primeira e mais usual forma de se contornar a heteroscedasticidade é através da aplicação de transformações à variável dependente. No entanto, esta não é a única alternativa e a transformação dos dados pode causar distorções significativas, o que pode ser um problema, especialmente considerando o problema da retransformação das variáveis transformadas.
Segundo @matloff2017, se
Outra forma de contornar a heteroscedasticidade é através da utilização de outros estimadores, como o estimador dos mínimos quadrados ponderados. Este método consiste na adoção de um vetor de pesos conveninente escolhido e aplicado a cada uma das observações, de maneira que se elimine a heteroscedasticidade do modelo. O inconveniente deste método está na determinação do vetor de pesos a ser utilizado, o que não é trivial.
Uma maneira mais interessante de se detectar a heteroscedasticidade é através da estimação da matriz de variância-covariância dos coeficientes heteroscedástico-consistente, desfazendo-se assim, da hipótese da homoscedasticidade.
Existem diversas maneiras de se estimar a matriz heteroscedástico-consistente, sendo que este método foi originalmente concebido por White [-@white1980], da seguinte forma:
Posteriormente diversas pequenas modificações foram propostas ao método, como a correção dos resíduos pelos graus de liberdade ($n/(n-k)$) e outras.
bptest(fit, studentize = FALSE)##
## Breusch-Pagan test
##
## data: fit
## BP = 40.275, df = 1, p-value = 2.206e-10
bptest(fit)##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: fit
## BP = 18.864, df = 1, p-value = 1.404e-05
gqtest(fit)##
## Goldfeld-Quandt test
##
## data: fit
## GQ = 6.9269, df1 = 48, df2 = 48, p-value = 2.203e-10
## alternative hypothesis: variance increases from segment 1 to 2
bptest(fit, ~X + I(X^2))##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: fit
## BP = 21.665, df = 2, p-value = 1.975e-05
bptest(fit2, studentize = FALSE)##
## Breusch-Pagan test
##
## data: fit2
## BP = 71.838, df = 1, p-value < 2.2e-16
bptest(fit2)##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: fit2
## BP = 20.962, df = 1, p-value = 4.684e-06
gqtest(fit2)##
## Goldfeld-Quandt test
##
## data: fit2
## GQ = 31.975, df1 = 48, df2 = 48, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: variance increases from segment 1 to 2
bptest(fit2, ~X + I(X^2))##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: fit2
## BP = 30.676, df = 2, p-value = 2.182e-07
bptest(fit3, studentize = FALSE)##
## Breusch-Pagan test
##
## data: fit3
## BP = 0.068957, df = 1, p-value = 0.7929
bptest(fit3)##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: fit3
## BP = 0.021291, df = 1, p-value = 0.884
gqtest(fit3)##
## Goldfeld-Quandt test
##
## data: fit3
## GQ = 1.0325, df1 = 99, df2 = 98, p-value = 0.4373
## alternative hypothesis: variance increases from segment 1 to 2
bptest(fit3, ~X + I(X^2))##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: fit3
## BP = 50.283, df = 2, p-value = 1.205e-11