本节主要介绍 线性代数 的基础。
首先从 解方程 开始，学习线性代数的应用之一就是求解复杂的方程问题，本节核心之一就是从 row picture (行图像) 和 column picture (列图像) 的角度解方程。
我们首先通过一个例子了解二维方程组（2个未知数，2个方程），如下：
我们首先按 row (行) 将方程组写成矩阵形式：
系数矩阵(A): 将方程组系数按行提取出来，构造完成的一个矩阵。
未知向量(x): 将方程组的未知数提取出来，按列构成一个向量。
向量(b): 将等号右侧结果按列提取，构成一个向量。
构造完成相应的矩阵形式了，我们将对应的 行图像 画出来。
所谓 行图像，就是在系数矩阵上，一次取一行 构成方程，在坐标系上做出如下图。和我们在初等数学中学习的作图求解方程的过程无异。
从列图像的角度，我们再次求解上面的方程：
在这一次的求解过程中，我们将方程按列提取，使用的矩阵为：
如上所示，我们使用 列向量 构成系数矩阵，将问题转化为: 将向量 
与向量 
正确组合，使得其结果构成 
。
接下来我们使用 列图像 将方程组展现出来，并求解：
即寻找合适的 x，y 使得 x 倍的 (2,-1) + y 倍的 (-1,2)得到最终的向量 (0,3)。很明显能看出来，1 倍 (2,-1) + 2 倍 (-1,2) 即满足条件。
反映在图像上，明显结果正确。
我们再想一下，仅仅对 这个方程，如果我们任意取 x 和 y ，那么我们得到的是什么呢？很明显，能得到任意方向的向量，这些向量能够布满整个平面。这里我们先不做展开，稍微有一些印象就好。
我们将方程组的维数进行推广，从三维开始，
，如果我们继续使用上面介绍的 做出行图像 来求解问题，那么会得到一个很复杂的图像。
矩阵如下：
对应方程： Ax = b
如果绘制行图像，很明显这是一个三个平面相交得到一点，我们想直接看出这个点的性质可谓是难上加难。
比较靠谱的思路是先联立其中两个平面，使其相交于一条直线，再研究这条直线与平面相交于哪个点，最后得到点坐标即为方程的解。
这个求解过程对于三维来说或许还算合理，那四维呢？五维甚至更高维数呢？直观上很难直接绘制更高维数的图像，这种行图像受到的限制也越来越多。
我们使用上面同样的例子， ，如果我们使用列图像的思路进行计算，那矩阵形式就变为：
左侧是线性组合，右侧是合适的线性组合组成的结果，这样一来思路就清晰多了，“寻找线性组合”成为了解题关键。
很明显这道题是一个特例，我们只需要取 x = 0, y = 0, z = 1 就得到了结果，这在行图像之中并不明显。
当然，之所以我们更推荐使用 列图像 求解方程， 是因为这是一种更系统的求解方法，即 寻找线性组合，而不用绘制每个行方程的图像之后寻找那个很难看出来的点。
另外一个优势在于，如果我们改变最后的结果 b，例如本题中，
那么我们 2 −1 1 0 −3 4 −3 就重新寻找一个线性组合就够了，但是如果我们使用的是行图像呢？那意味着我 们要完全重画三个平面图像，就简便性来讲，两种方法高下立判。
另外，还要注意的一点是对任意的 b 是不是都能求解 Ax = b 这个矩阵方程呢？ 也就是对 3*3 的系数矩阵 A，其列的线性组合是不是都可以覆盖整个三维空间呢？
对于我们举的这个例子来说，一定可以，还有我们上面 2*2 的那个例子，也可以覆盖整个平面，但是有一些矩阵就是不行的。
比如三个列向量本身就构成了一个 平面，那么这样的三个向量组合成的向量只能活动在这个平面上，肯定无法覆盖 2 −1 1 一个三维空间，
这三个向量就构成了一个平面。
这部分内容主要是线性代数概念的初步了解，从解方程谈起，从行空间逐步过渡到列空间，可以发现从列空间角度将求解方程变化为求列向量的线性组合，这种方法更加科学。末尾稍微介绍了一下矩阵乘法，这部分的内容理解就好。