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Simulazione dell'evoluzione di un'epidemia

• Descrizione del problema
• Il modello SIR
• Parte I: implementazione del modello SIR
• Parte II: simulazione tramite automa cellulare
• Variazioni sul tema

Descrizione del problema

Il progetto consiste nella progettazione e nell'implementazione di una simulazione della diffusione di un'epidemia in una popolozione. Esiste un semplice modello teorico per descrivere la diffusione di un'epidemia all'interno di una popolazione chiusa. Il modello è detto SIR dalle iniziali di

• Suscettibili: le persone che si possono infettare
• Infetti: le persone infette e che possono infettare
• Rimossi: le persone guarite, decedute o in isolamento, che non possono più né infettarsi né infettare

Lo stato di una persona può andare in una direzione sola, prima da S a I e poi da I a R.

Il modello esposto è per forza di cose semplificato, ma aiuta a cogliere l'andamento reale di un'epidemia.

Il modello SIR

Il modello si basa su tre equazioni differenziali

$$\begin{align*} \frac{dS}{dt} &= -\beta \frac{S}{N} I\\ \frac{dI}{dt} &= \beta \frac{S}{N} I - \gamma I\\ \frac{dR}{dt} &= \gamma I \end{align*}$$

da cui si ricava che $S + I + R = N$, con $N$ costante, il numero totale di persone nella popolazione.

Il modello ha due parametri:

• $\beta \in [0,1]$ è una misura della probabilità di contagio in seguito a contatti tra infetti e suscettibili
• $\gamma \in [0,1]$ è la probabilità di guarigione (o morte) di un infetto ed è l'inverso del tempo medio di risoluzione dell'infezione

I parametri $\beta$ e $\gamma$ nel modello sono costanti, ma nella realtà sono tipicamente variabili e dipendono ad esempio dalle misure di mitigazione messe in atto.

Notate come $dI/dt > 0$, cioè l'epidemia è in espansione, se $\beta S/N > \gamma$, cioè se $S/N > \gamma / \beta$; l'epidemia è in contrazione nel caso opposto. In altre parole, quando il numero di suscettibili rispetto al totale della popolazione supera la soglia $\gamma / \beta$ il numero di infetti comincerà a calare. In particolare, al tempo $t=0$, quando $S \approx N$, l'epidemia partirà se $R_0 = \beta / \gamma > 1$

Discretizzando le equazioni differenziali citate sopra e considerando $\Delta T = 1$, abbiamo

$$\begin{align*} S_i &= S_{i-1} - \beta \frac{S_{i-1}}{N} I_{i-1}\\ I_i &= I_{i-1} + \beta \frac{S_{i-1}}{N} I_{i-1} - \gamma I_{i-1}\\ R_i &= R_{i-1} + \gamma I_{i-1} \end{align*}$$

Ad ogni iterazione devono valere i vincoli

$$\begin{align*} S + I + R &= N\\ S, I, R &\in \Bbb N \end{align*}$$

Parte I: implementazione del modello SIR

La prima parte del progetto è obbligatoria e consiste nell'implementazione del modello SIR descritto sopra, calcolando i valori di S, I e R al variare del tempo. In base ai vincoli citati sopra, questi valori devono essere dei numeri interi già durante la simulazione e non solo nell'output finale.

L'input del programma è costituito dai parametri del modello $\beta$ e $\gamma$, dai valori iniziali di S, I e R e dalla durata in giorni della simulazione $T$. I parametri vanno presi, da standard input, da file di configurazione o da riga di comando.

L'output del programma è costituito da una tabulazione dei valori di S, I e R su standard output. In aggiunta è possibile utilizzare SFML (o altro sistema grafico, purché disponibile sulla piattaforma di riferimento Ubuntu 22.04) per la rappresentazione grafica dell'andamento delle variabili.

Parte II: simulazione tramite automa cellulare

La seconda parte del progetto è facoltativa e consiste nell'implementazione della simulazione della pandemia tramite automa cellulare: ogni membro della popolazione è rappresentato come una cella su una griglia bidimensionale e può assumere valori diversi. La griglia può poi evolvere secondo alcune semplici regole di infezione e guarigione, a intervalli di tempo discreti.

Ogni cella in questo caso può essere in uno degli stati S, I o R (o vuota). Come nel modello SIR, una cella S può diventare I e una cella I può diventare R. Il passaggio da S a I avviene in base a una certa probabilità $\beta$ combinata opportunamente (cioè nel rispetto della teoria della probabilità) con il numero di vicini infetti. Il passaggio da I a R avviene in base a una certa probabilità $\gamma$. Per la gestione dei numeri casuali usate la libreria standard <random>.

Come nella parte I, l'input del programma è costituito almeno dalla durata in giorni della simulazione $T$ e dai parametri di probabilità $\beta$ e $\gamma$, nonché dalle condizioni iniziali della griglia. I parametri vanno presi da standard input, da file di configurazione o da riga di comando.

L'output del programma è costituito dalla rappresentazione della griglia istante dopo istante, accompagnata dai valori di S, I e R. E' possibile utilizzare SFML (o altro sistema grafico, purché disponibile sulla piattaforma di riferimento Ubuntu 22.04) per la rappresentazione grafica.

Variazioni sul tema

Per entrambe le parti è possibile introdurre ulteriori elementi per rendere più elaborato il modello. A titolo di esempio:

• introdurre misure di mitigazione durante il corso dell'epidemia (quarantena, vaccinazioni, lockdown, ...)

• introdurre la possibilità che le persone si spostino sulla griglia dell'automa cellulare

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