-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 2
/
lecture6.tex
525 lines (486 loc) · 17.8 KB
/
lecture6.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
\section{Šestá přednáška}
\subsection{Matice}
\begin{theorem}[Cauchyho věta o součinu]
\label{the:cauchy}
Determinant součinu je součin determinantů.
$$|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Idea důkazu: Uvažujme matici H v tomto tvaru:
\[H =
\begin{pmatrix}
A & O \\
\begin{pmatrix}
-1 & \ldots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & -1
\end{pmatrix} & B
\end{pmatrix}
\]
Jestliže matice $A$ a $B$ jsou řádu $n$, potom matice $H$ je řádu $2\cdot n$.
Nyní zkonstruujeme matici K:
\[K =
\begin{pmatrix}
A & C \\
\begin{pmatrix}
-1 & \ldots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & -1
\end{pmatrix} & O
\end{pmatrix}
\]
S tím, že:
$$C = A\cdot B$$
Zřejmě:
\begin{align*}
|H| &= |A| \cdot |B|\\
|K| &= |C|
\end{align*}
A $K$ lze obdržet vhodnými elementárními úpravami z $H$.
\end{proof}
\subsection{Soustavy lineárních rovnic}
Příklady na řešitelnost soustavy. Příklad na soustavu, která nemá řešení je na konci
předchozí přednášky.
\begin{example}[Řešení soustavy linearních rovnic s právě jedním řešením]
Řešte následujicí soustavu linearních rovnic:
\begin{align*}
2x + y - z & = 43\\
3x + 3y +5z &= 84\\
4x - y - 2z &= 86
\end{align*}
Soustavu přepíšeme do rozšířené matice a elementárními úpravami
převedeme do schodovitého tvaru:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}[ccc|c]
2 & 1 & -1 & 43\\
3 & 3 & 5 & 84\\
4 & -1 & -2 & 86
\end{pmatrix} \eqop{r_2 \cdot (-2); r_3 \cdot (-1)}
\begin{pmatrix}[ccc|c]
2 & 1 & -1 & 43\\
-6 & -6 & -10 & -168\\
-4 & 1 & 2 & 86
\end{pmatrix} \eqop{r_2 + 3 \cdot r_1; r_3 + 2 \cdot r_1}
\begin{pmatrix}[ccc|c]
2 & 1 & -1 & 43\\
0 & -3 & -13 & -39\\
0 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix} \eqop{r_2 + r_3; r_3 \cdot \frac{1}{3}; r_3 \leftrightarrow r_2; } \\
\eqop{r_2 + r_3; r_3 \cdot \frac{-1}{3}; r_3 \leftrightarrow r_2; }
\begin{pmatrix}[ccc|c]
2 & 1 & -1 & 43\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -13 & -39
\end{pmatrix} \eqop{r_3 \cdot \frac{-1}{13}}
\begin{pmatrix}[ccc|c]
2 & 1 & -1 & 43\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\end{align*}
Hodnost základní matice je 3, hodnost rozšířené matice je také 3, soustava má tedy právě jedno řešení.
Nyní provedeme \uv{zpětný chod} a ze schodovitého tvaru matice vyjádříme odspodu hodnoty
jednotlivých proměnných.
\begin{align*}
z &= 3\\
y &= 0\\
2x + y -z &= 43\\
2x +0 -3 &= 43\\
2x &=46\\
x &= 23
\end{align*}
\end{example}
\begin{example}[Řešení soustavy linearních rovnic s nekonečným počtem řešení]
Řešte následujicí soustavu linearních rovnic v $\mathbb{R}$:
\begin{align*}
2a - b + c -4d &= -2\\
4a + 2b -c + 5d &= 1\\
10a -b +2c -7d &= -5\\
30a + 9b -3c +18d &= 0
\end{align*}
Soustavu přepíšeme do rozšířené matice a elementárními úpravami
převedeme do schodovitého tvaru:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}[cccc|c]
2 & -1 & 1 & -4 & -2\\
4 & 2 & -1 & 5 & 1\\
10 & -1 & 2 & -7 & -5\\
30 & 9 & -3 & 18 & 0
\end{pmatrix} \eqop{r_2 \cdot (-1); r_3 \cdot -1; r_4 \cdot \frac{-1}{3}}
\begin{pmatrix}[cccc|c]
2 & -1 & 1 & -4 & -2\\
-4 & -2 & 1 & -5 & -1\\
-10 & 1 & -2 & 7 & 5\\
-10 & -3 & 1 & -6 & 0
\end{pmatrix} \eqop{r_2 + 2 \cdot r_1; r_3 + 5 \cdot r_1; r_4 + 5 \cdot r_1}\\
\eqop{r_2 + 2 \cdot r_1; r_3 + 5 \cdot r_1; r_4 + 5 \cdot r_1}
\begin{pmatrix}[cccc|c]
2 & -1 & 1 & -4 & -2\\
0 & -4 & 3 & -13 & -5\\
0 & -4 & 3 & -13 & -5\\
0 & -8 & 6 & -26 & -10
\end{pmatrix} \eqop{r_3 - r_2; r_4 - 2\cdot r_2}
\begin{pmatrix}[cccc|c]
2 & -1 & 1 & -4 & -2\\
0 & -4 & 3 & -13 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
Vidíme, že hodnost základní matice soustavy je 2 a hodnost rozšířené matice soustavy je také 2
hodnosti se rovnají a soustava je tedy řešitelná. Máme ovšem 4 neznáme a hodnosti jsou rovny
dvěma, řešení lze tedy vyjádřit pomocí $4-2=2$ parametrů.
Za neznámé $c, d$ dosadíme parametry $p, q$ a pomocí těchto parametrů opět zpětným
chodem vyjádříme ostatní neznámé.
\begin{align*}
d &= q\\
c &= p\\
p, q &\in \mathbb{R}
\end{align*}
\begin{align*}
-4 b +3 c -13d &= -5\\
-4b +3p -13q &= -5\\
-4b &= -3p + 13q -5\\
b &= \frac{3p - 13q + 5}{4}
\end{align*}
\begin{align*}
2a -b +c -4d &= -2\\
2a -\frac{3p - 13q + 5}{4} + p -4q &= -2\\
2a &= \frac{3p - 13q + 5}{4} + \frac{-4p+16q-8}{4}\\
2a &= \frac{-p +3q -3}{4}\\
a &= \frac{-p +3q -3}{8}
\end{align*}
Jako parametry ovšem nebylo nutné zvolit zrovna neznámé $c, d$. Jako parametr jsme mohli vzít
například $a$, nebo $b$, nebo také výraz $a + 2b$. Můžeme si je zkrátka zvolit dle potřeby a
parametrické vyjádření tedy není jednoznačné. Ne vždy je navíc možné parametry volit takto
vhodně \uv{odzadu}, jak jsme to udělali v tomto příkladu.
\end{example}
\begin{example}[Případ, kdy nejde neznámé parametrizovat odzadu]
Mějme rozšířenou matici soustavy upravenou na schodovitý tvar:
\[
\begin{pmatrix}[cccc|c]
1 & 1 & 1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 0 & 2 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
\]
V tomto případě si pro parametrizaci nemůžeme jednoduše zvolit poslední neznámou,
protože ta má přesně danou hodnotu 5, k parametrizaci tak musíme využít jiný vhodný postup.
\end{example}
\begin{example}[Vytvoření soustavy rovnic dle požadavků]
Vytvořte soustavu tří různých linearnách rovnic o dvou neznámých, která má
nekonečně mnoho řešení.
\begin{align*}
x &= 0\\
2y &= 0\\
3y &= 0
\end{align*}
\end{example}
\subsection{Výpočet inverzní matice pomocí Gaussovy metody}
%01:00:00 příklad na výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice
Gaussovu metodu můžeme použít i k výpočtu inverzní matice. Pro výpočet
inverzní matice k matici $A$ stačí vytvořit rozšířenou matici:
\[
\begin{pmatrix}[c|c]
A & E
\end{pmatrix}
\]
Kde matice E představuje jednotkovou matici. A pomocí elementárních úrav tuto rozšířeno
matici upravit do tvaru, kdy jednotkovou matici dostaneme na levé straně, inverzní
matice pak bude na pravé straně:
\[
\begin{pmatrix}[c|c]
E & A^{-1}
\end{pmatrix}
\]
Tato úprava je realizovatelná v případě, že je matice $A$ regulární a existuje k ní tedy inverzní
matice.
\begin{example}[Výpočet inverzní matice Gaussovou metodou]
Gaussovou metodou spočítejte inverzní matici $A^{-1}$ k matici $A$.
\[A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0\\
1 & 0 & -1\\
1 & 1 & 5
\end{pmatrix}
\]
Matici přepíšeme do rozšířené matice s jednotkovou maticí na pravé straně a levou
stranu pomocí elementárních úprav převedeme na matici jednotkovou.
\begin{align*}
\begin{pmatrix}[ccc|ccc]
2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \eqop{r_1 \leftrightarrow r_2; r_3 \cdot (-1)}
\begin{pmatrix}[ccc|ccc]
1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\
2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & -1 & -5 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix} \eqop{r_2 - 2\cdot r_1; r_3 + r_1} \\ \eqop{r_2 - 2\cdot r_1; r_3 + r_1}
\begin{pmatrix}[ccc|ccc]
1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 3 & 2 & 1 & -2 & 0\\
0 & -1 & -6 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix} \eqop{r_2 + 3\cdot r_3; r_2 \leftrightarrow r_3}
\begin{pmatrix}[ccc|ccc]
1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & -6 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & -16 & 1 & 1 & -3
\end{pmatrix} \eqop{r_3 \cdot \frac{1}{16}} \\ \eqop{r_3 \cdot \frac{-1}{16}}
\begin{pmatrix}[ccc|ccc]
1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & -6 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1 & \frac{-1}{16} & \frac{-1}{16} & \frac{3}{16}
\end{pmatrix} \eqop{r_2 + 6 \cdot r_3; r_1 - r_3}
\begin{pmatrix}[ccc|ccc]
1 & 0 & 0 & \frac{-1}{16} & \frac{15}{16} & \frac{3}{16}\\
0 & -1 & 0 & \frac{-6}{16} & \frac{10}{16} & \frac{2}{16}\\
0 & 0 & 1 & \frac{-1}{16} & \frac{-1}{16} & \frac{3}{16}
\end{pmatrix} \eqop{r_2 \cdot (-1)} \\ \eqop{r_2 \cdot (-1)}
\begin{pmatrix}[ccc|ccc]
1 & 0 & 0 & \frac{-1}{16} & \frac{15}{16} & \frac{3}{16}\\
0 & 1 & 0 & \frac{6}{16} & \frac{-10}{16} & \frac{-2}{16}\\
0 & 0 & 1 & \frac{-1}{16} & \frac{-1}{16} & \frac{3}{16}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{example}
\subsection{Cramerovo pravidlo}
Cramerovo pravidlo je k řešení soustav lineárních rovnic, kde základní matice soustavy je
čtvercová regulární matice.
Cramerovo pravidlo říká, že i-tou neznámnou $x_i$ z matice soustavy $A$ můžeme vyjádřit jako:
$$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$$
Kde $A_i$ je matice vytvořená z matice $A$ tak, že i-tý sloupec nahradíme sloupcem absolutních
členů soustavy.
Tuto metodu je výhodné použít když nepotřebujeme všechny neznámé, nebo když máme \uv{nepěkné}
koeficienty.
\begin{example}[Výpočet neznámé pomocí cramerova pravidla]
Pomocí Cramerova pravidla vyjádřete neznámou $y$ z následujicí soustavy rovnic:
\begin{align*}
\sqrt{2} x + y + z &= 2\sqrt{2}\\
3x -\sqrt{2}z &= 1\\
4y + 3\cdot \sqrt{2} z &= 1 + \sqrt{2}
\end{align*}
Spočítáme potřebné determinanty
\begin{align*}
|A| &=
\begin{vmatrix}
\sqrt{2} & 1 & 1\\
3 & 0 & -\sqrt{2}\\
0 & 4 & 3\cdot \sqrt{2}
\end{vmatrix} =
12 - (-4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 9 \cdot \sqrt{2}) = 20 - 9 \cdot \sqrt{2} \\
|A_2| &=
\begin{vmatrix}
\sqrt{2} & 2\cdot\sqrt{2} & 1\\
3 & 1 & -\sqrt{2}\\
0 & 1+\sqrt{2} & 3\cdot \sqrt{2}
\end{vmatrix}
= 9 + 3\cdot \sqrt{2} - [-2 - 2\sqrt{2} + 36] = -25 + 5 \sqrt{2}
\end{align*}
A pomocí nich vyjádříme neznámou $y$:
$$y = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{-25 + 5 \cdot \sqrt{2}}{20 - 9 \cdot \sqrt{2}} \cdot
\frac{20 + 9 \cdot \sqrt{2}}{20 + 9 \cdot \sqrt{2}} =
\frac{-500 - 225\sqrt{2} + 100\sqrt{2} + 90}{238} = \frac{-410-125\sqrt{2}}{238}
$$
\end{example}
\begin{definition}[Podobnost matic]
%nástřel příkladů na podobnost matic 1:35
Řekneme, že matice $B$ je podobná matici $A$, jestliže existuje regulární
matice $S$ tak, že:
$$B = S\cdot A \cdot S^{-1}$$
\end{definition}
\begin{theorem}[Relace podobnosti matic]
Relace \uv{být podobná} je ekvivalence.
\end{theorem}
\begin{proof}
Pro důkaz ekvivalence musíme dokázat, že se jedná o reflexivní, symetrickou a tranzitivní
relaci:
Reflexivita:
$$A = S\cdot A\cdot S^{-1}\; pro\; S=E, \forall A$$
Symetrie: Předpokládejme, že B je podobná A:
$$B = S\cdot A \cdot S^{-1}$$
Potom musíme ukázat, že existuje regulární matice T taková, že:
$$A = T \cdot B \cdot T^{-1}$$
Pro splnění tohoto požadavku však stačí vzít $T = S^{-1}$
Tranzitivita:
Předpokládejme, že B je podobná A a že C je podobná B.
\begin{align*}
B &= SAS^{-1}\\
C &= TBT^{-1}
\end{align*}
A nyní chceme ukázat, že C je podobná A.
\begin{align*}
C &= UAU^{-1}\\
C &= TSAS^{-1}T^{-1}
\end{align*}
Pro splnění tohoto požadavku stačí zvolit $U = TS$
\end{proof}
\subsection{Charakteristický polynom, vlastní čísla a vlastní vektory matice}
% 1:40 opáčko soustav rovnic
\begin{definition}[Charakteristický polynom]
Charakteristický polynom čtvercové matice $A$ je polynom:
$$|A - \lambda E|$$
\end{definition}
\begin{definition}[Charakteristická rovnice]
Charakteristická rovnice čtvercové matice $A$ je rovnice, kde charakteristický polynom
položíme roven 0:
$$|A - \lambda E| = 0$$
\end{definition}
\begin{definition}[Vlastní hodnoty]
Vlastní hodnoty čtvercové matice $A$ jsou kořeny charakteristického polynomu této matice.
\end{definition}
\begin{example}
Vyjádřete charakteristický polynom a vlastní hodnoty matice $A$.
\[A=
\begin{pmatrix}
5 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\]
\begin{align*}
|A - \lambda E| &= 0\\
det \Bigg(
\begin{pmatrix}
5 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} - \lambda \cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} \Bigg ) &= 0 \\
det \Bigg(
\begin{pmatrix}
5 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} -
\begin{pmatrix}
\lambda & 0\\
0 & \lambda
\end{pmatrix} \Bigg ) &= 0 \\
\begin{vmatrix}
5 - \lambda & 1\\
-1 & - \lambda
\end{vmatrix} &= 0 \\
-5 \cdot \lambda + \lambda^2 + 1 &= 0\\
\lambda^2 -5 \cdot \lambda + 1 &= 0\\
\lambda_{1,2} &= \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}
\end{align*}
\end{example}
\begin{definition}[Vlastní vektor matice A]
Vezmeme li jednu konkrétní vlastní hodnotu $\lambda_1$ matice $A$.
Potom nenulový vektor $\vec{u}$, který splňuje:
$$(A - \lambda_1 \cdot E) \cdot \vec{u} = \vec{o}$$
Nazýváme vlastní vektor matice $A$ odpovídajicí vlastní hodnotě $\lambda_1$.
Tento vlastní vektor tvoří vektorový podprostor.
\end{definition}
\begin{example}[Vlastní hodnoty a vlastní vektory]
Najděte všechny vlastní hodnoty a vlastní vektory matice A.
\[A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\]
Vyjádříme vlastní čísla:
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1 - \lambda & 0 \\
0 & 2 - \lambda
\end{vmatrix} &= (1 - \lambda)(2 - \lambda)\\
\lambda_1 &= 1\\
\lambda_2 &= 2
\end{align*}
K vlastním číslům vyjádříme vlastní vektory:
Pro $\lambda_1$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}\\
u_1 &= p\\
u_2 &= 0\\
\end{align*}
Pro $\lambda_2$ stejným postupem:
\begin{align*}
u_1 &= 0\\
u_2 &= p
\end{align*}
A vlastní vektory matice A jsou tedy $
\begin{pmatrix}
p\\0
\end{pmatrix}$ a $
\begin{pmatrix}
0\\p
\end{pmatrix}
$, kde $p\in \mathbb{R} \smallsetminus 0$
\end{example}
\begin{theorem}[Nezávislost vlastních vektorů]
Vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Vlastní hodnoty symetrické matice]
Vlastní hodnoty symetrické matice $A$ jsou reálné ($\in \mathbb{R}$).
\end{theorem}
\begin{theorem}[Charakteristický polynom podobných matic]
Charakteristický polynom podobných matic je stejný a tedy mají i stejné vlastní hodnoty.
%důkaz 2:06
\end{theorem}
\subsection{Matice homomorfismu}
\begin{definition}[Matice homomorfismu]
Mějme vektorový prostor $\mathcal{V}$ nad nějakým polem $F$, dimenze $\mathcal{V}$ bude
$m$ a báze $\mathcal{B} = (\vec{e_1}, \ldots, \vec{e_m})$. A vektorový prostor $\mathcal{W}$
s dimenzí $n$ a bází $\overline{B} = (\vec{f_1}, \ldots, \vec{f_n})$.
Dále budeme mít zobrazení $\varphi: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}$, které bude homomorfismus
(lineární zobrazení)
Označme:
\begin{align*}
\vec{w_1} &= \varphi(\vec{e_1})\\
&\vdots\\
\vec{w_m} &= \varphi(\vec{e_m})\\
\end{align*}
Pak vektory $\vec{w_1}, \ldots, \vec{w_m}$ jsou lineárnímí kombinacemi bázových vektorů v prostoru
$\mathcal{W}$.
\begin{align*}
\vec{w_1} &= a_{11} \cdot \vec{f_1} + \ldots a_{1n} \cdot \vec{f_n}\\
&\vdots\\
\vec{w_m} &= a_{n1} \cdot \vec{f_1} + \ldots a_{mn} \cdot \vec{f_n}\\
\end{align*}
Potom matici koeficientů $a$:
\[
\begin{vmatrix}
a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \ldots & a_{mn}
\end{vmatrix}
\]
Nazveme matice homomorfismu $\varphi: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}$ v bázích $\mathcal{B}$
a $\overline{\mathcal{B}}$.
\end{definition}
\begin{example}[Matice homomorfismu]
Nechť:
\begin{align*}
\mathcal{V} &= \mathbb{R}^3,\;\mathcal{B} = \big((1,1,1), (1,0,1), (1,0,0) \big)\\
\mathcal{W} &= \mathbb{R}^2,\;\overline{\mathcal{B}} = \big((2,3), (3,2) \big)\\
\varphi \big((\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3})\big) &= (0, \vec{v_2} + 2\cdot \vec{v_3})
\end{align*}
Potom:
\begin{align*}
\vec{w_1} &= (0, 3) = a_{11} \cdot (2, 3) + a_{12}\cdot (3,2)\\
\vec{w_2} &= (0, 2) = a_{21} \cdot (2, 3) + a_{22}\cdot (3,2)\\
\vec{w_3} &= (0, 0) = a_{31} \cdot (2, 3) + a_{32}\cdot (3,2)
\end{align*}
Vyřešíme tyto 3 soustavy lineárních rovnic a tím dostaneme následujicí matici homomorfismu:
$$\begin{pmatrix}
0 & 0\\
\frac{6}{5} & \frac{-4}{5}\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}$$
\end{example}