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水文气象学

ch05. 辐射与热量平衡

葛朝霞等，气象学与气候学教程，中国水利水电出版社（第2版）

• 2 辐射与热量平衡

孔冬冬，kongdongdong@cug.edu.cn

办公室：环境学院416

中国地质大学大气科学系 · 武汉

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目录：

1. 辐射与辐射能

2. 辐射的基本定理

3. 大气能量平衡

4. 地表能量平衡

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1. 辐射与辐射能

变量	说明	单位
辐射能$\Delta F$	辐射的总能量	$J$
辐射通量	单位时间通过的辐射能	$W$
辐射通量密度 $F$	单位时间、单位面积通过的辐射能	$W m^{-2}$
辐射强度 $I$	单位时间、单位面积、单位弧度角，通过的辐射能	$W m^{-2} sr^{-1}$

$$I = \frac{\Delta F}{ \Delta t ~\Delta S ~\Delta \omega}$$

注：此处的$\Delta S$是正交投影面积

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1.1. 立体角

$$ d w=\frac{d A}{r^2}=\frac{r d \theta \cdot r \sin \theta d \varphi}{r^2}=d \theta \sin \theta d \varphi $$

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应用：

• 日地距离，辐射通量密度的关系

  

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1.2. 辐射通量密度$F$与辐射强度$I$的关系

$$ \begin{aligned} F &= \int_{2 \pi} dF, (dF = I cos \theta ~ dw) \\ &=\int_{2 \pi} I \cos \theta d \omega =\int_{\phi=0}^{2 \pi} \int_{\theta=0}^{\pi / 2} I \cos \theta \sin \theta d \theta d \phi \\ &=2 \pi I \int_0^{\pi / 2} \cos \theta \sin \theta d \theta \\ &=\pi I\left[\left(\sin ^2(\pi / 2)-\sin ^2(0)\right]\right.\\ &=\pi I \end{aligned} $$

• $cos \theta$: 从球面面积转为正交投影面积

• $dw$: 弧度角的积分

结论：对于球面，$F = \pi I$

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2. 辐射的基本定理

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3. 能量平衡中的主要成员

短波辐射

• 反射与反射率$\alpha$

  大气层与地表的反射率$\alpha$

• 散射

  入射短波辐射$Rs$包含直射和散射

长波辐射

• 长波辐射与发射率$\epsilon$

  发射率$\epsilon$针对的是地表。根据基尔霍夫定量，吸收率等于发射率，吸收的入射长波辐射为$\epsilon Rl_{in}$

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3.1. 散射

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为了区分二者，瑞利散射和米散射分别被称为散射与漫射。

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温室效应

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4. 太阳辐射

• 太阳高度角：太阳入射光线与地平面所形成的夹角。

• 方位角：与正北方向的夹角，顺时针为正；正北方向为0°，正东为90°。

• 天文辐射总能量Qs

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https://www.bilibili.com/bangumi/play/ep257070

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4.1. 太阳高度角与方位角

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修正：其中$\sigma$是赤纬角

https://www.zhihu.com/question/51315574 https://zhuanlan.zhihu.com/p/396807910

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4.1.1. 应用

$$ sinh = cos\phi cos\sigma cos\omega + sin\phi sin\sigma $$

$\phi$：纬度，OP与赤道面的夹角 $\sigma$：黄赤交角，太阳光线与赤道面的夹角，近似为常数23°26'。 $\omega$：时角，上午为负、下午为正、正午为0；每1小时，相差15°。

• 根据太阳高度角的年内变化特征，划分24节气；

  正午是$\omega = 0$，则

  $$ sinh_{12} = cos \phi cos \sigma + sin \phi sin \sigma $$

• 计算日出时间、日落时间

$$ \begin{align*} sinh &= cos\phi cos\sigma cos\omega_0 + sin\phi sin\sigma = 0 \\ cosw_0 &= -\frac{sin \phi sin \sigma}{cos\phi cos\sigma } = -tan\phi tan\sigma\\ w_0 &= arccos(-tan\phi tan\sigma) \end{align*} $$

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方位角

• 太阳高度角可以用来确定影子的长度；

• 方位角可以用来确定影子方向。

  23°26'以北，太阳始终在南方；中午之前，太阳在东；中午之后，太阳在西；

日晷

https://www.gaohaipeng.com/3362.html

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4.2. 天文辐射总能量Qs

$$ \frac{dQ_s}{dt} = \frac{I_0}{\rho^2} (cos\phi cos\sigma cos\omega + sin\phi sin\sigma) $$

$$ \begin{align*} Q_s &= \int_{-w_0}^{w_0}{\frac{dQ_s}{dt}} dt = \int_{-w_0}^{w_0}{\frac{dQ_s}{dt}} \frac{1440}{2\pi} d\omega \\ &= \int_{-w_0}^{w_0}{\frac{I_0}{\rho^2} (cos\phi cos\sigma cos\omega + sin\phi sin\sigma)} \frac{1440}{2\pi} d\omega \\ &= \frac{T}{\pi}\frac{I_0}{\rho^2} (cos\phi cos\sigma sin\omega_0 + \omega_0sin\phi sin\sigma) \end{align*} $$

$\rho = \frac{r}{r_0}$；$r$为日地距离，$r_0$为日地平均距离。$I_0≈1365 W/m^2$

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天文辐射总能量Qs

$Q_s$可以认为是大气层顶接收到的理论太阳辐射，但经过大气吸收、大气反射、地表反射，到达地表的入射短波辐射$Rs$仅有$Q_s$的45%左右。

当缺乏$R_s$观测资料时，可以采用$Q_s$ + 光照时数（或者云量）来估计。

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5. 大气能量平衡

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• 地表 $$ Rns = 45, \ Rl_{in} = 88, Rl_{out} = 104 \ Rn = 45 + 88 - 104 = 29 \ Rn = H + \lambda E $$

• 大气

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5.0.0.1. 感热($H$)

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5.0.0.2. 潜热($\lambda E$)

$$ \begin{align*} & \lambda E=\lambda ({{\rho }{w}}-\rho ){{\text{g}}{w}} \ & =\lambda (\frac{{{e}{s}}({{T}{w}})}{{{P}{a}}}\varepsilon \rho -\frac{e}{{{P}{a}}}\varepsilon \rho ){{\text{g}}{w}} \ & =\lambda \varepsilon \rho {{\text{g}}{w}}\frac{{{e}{s}}({{T}{w}})-e}{{{P}{a}}} \ & =\lambda \varepsilon \rho {{\text{g}}{w}}\frac{{{e}{s}}({{T}{w}})-{{e}{s}}({{T}{a}})+{{e}{s}}({{T}{a}})-e}{{{P}{a}}} \ & \simeq \lambda \varepsilon \rho {{\text{g}}{w}}\frac{\Delta ({{T}{w}}-{{T}{a}})+D}{{{P}_{a}}}
\end{align*} $$

详细解释见：《补充--蒸散发的基本原理》

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感热潜热比例随温度的变化

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QA:

1. 已知热水壶加热的功率、壶内水的初始温度$T_0$，给定时间，能否知道水的温度？

2. 知道了总能量，能否推求日温度变化？

   为了简化问题

   • 假设是沙漠地区，忽略蒸发项
   • 假设静止为风，忽略平流项对温度的影响

3. 撑伞与否人体感知温度差别？

4. 空气温度与地表温度