教案_ch04_第1讲-水汽通量与暴雨分析.md

水文气象学

ch04_大气中的水汽——水汽通量与暴雨来源分析

葛朝霞等，气象学与气候学教程，中国水利水电出版社（第2版）

• 4.7 水平运动与垂直运动的关系
• 5.4 水分方程和可降水量

引言

• 加州大气河流：https://www.youtube.com/watch?v=UDDUtOZ92Tk

• 大气河流3D model: https://www.bilibili.com/video/BV12Y411b7XY/, https://svs.gsfc.nasa.gov/4960

• 中国天河过程：https://www.bilibili.com/video/BV13s4y1m7zX

• 王光谦院士答天河工程：https://www.qhu.edu.cn/jxky/51516.htm

君不见黄河之水天上来，奔流到海不复回。-- 李白

天上的水，从哪里来？

黄河的水量有多大？

https://www.ndrc.gov.cn/fggz/fzzlgh/gjjzxgh/201604/P020191104623960850846.doc

1. 水平运动与垂直运动的关系

1.1. 欧拉与拉格郎日观点

• 欧拉：着眼于空间。温度$T$随时间$t$和空间位置($x, y, z$)变化，$T = f(t, x, y, z)$，变化速率：

$$ \begin{align*} \frac{d T}{dt} &= {\partial T \over \partial t} + {\partial T \over \partial x} {dx \over dt} + {\partial T \over \partial y} {dy \over dt} + {\partial T \over \partial z} {dz \over dt} \\ &= {\partial T \over \partial t} + {\partial T \over \partial x} u + {\partial T \over \partial y} v + {\partial T \over \partial z} w \\ &= {\partial T \over \partial t} + V \nabla · T \end{align*} $$

• 拉格朗日：着眼于质元。$T$只随时间$t$变化，T = g(t)，变量速率：$\frac{dT}{dt}$

1.$\nabla = \frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial f}{\partial y} \boldsymbol{k}$, $\nabla_h = \frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \boldsymbol{j}$ 2.拉格朗日描述与欧拉描述，https://www.zhihu.com/question/26129680

如果是密度$\rho$，公式也是同样的形式：

密度随时间的变化：可联想污染物的扩散，污染物密度的变化

$$ \begin{align*} \frac{d \rho}{dt} &= {\partial \rho \over \partial t} + {\partial \rho \over \partial x} {dx \over dt} + {\partial \rho \over \partial y} {dy \over dt} + {\partial \rho \over \partial z} {dz \over dt} \\ &= {\partial \rho \over \partial t} + {\partial \rho \over \partial x} u + {\partial \rho \over \partial y} v + {\partial \rho \over \partial z} w \\ &= {\partial \rho \over \partial t} + V \nabla · \rho \end{align*} $$

1.2. 连续方程

$x$方向净流入量：

$$ \rho u \delta y \delta z \delta t - (\rho u + \frac{\partial \rho u}{\partial x} )\delta y \delta z \delta t =

• \frac{\partial \rho u}{\partial x} \delta y \delta z \delta t $$

同理可以得出$y$和$z$方向的流入量， 分别为：$- \frac{\partial \rho v}{\partial y} \delta x \delta z \delta t$、$- \frac{\partial \rho w}{\partial z} \delta x \delta y \delta t$，因此，

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} \delta x \delta y \delta z \delta t =

• ({\partial \rho u \over \partial x} + {\partial \rho v \over \partial y} + {\partial \rho w \over \partial z}) \delta x \delta y \delta z \delta t $$

$$ \begin{align*} \ \frac{\partial \rho}{\partial t} + {\partial \rho u \over \partial x} + {\partial \rho v \over \partial y} + {\partial \rho w \over \partial z} = 0 \

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla · (\rho V) = 0 \ \frac{\partial \rho}{\partial t} + V \nabla · \rho + \rho \nabla · V= 0 \

\end{align*} $$

:::info:Recall $$ \frac{d \rho}{dt} = {\partial \rho \over \partial t} + V \nabla · \rho $$ :::

$$ \begin{align*} \frac{d \rho}{dt} + \rho \nabla · V = 0 % (\frac{\partial \rho}{\partial t} + V \nabla · \rho ) + \rho \nabla · V = 0 \\ \end{align*} $$

1.连续方程的数学推导, https://www.bilibili.com/video/BV1d64y1Q7iw

拉格朗日：对于质元（研究对象恒定），只要体积不变（不可压缩），则$\rho$不变。

流体不可压缩，则其流动过程中密度不变($\frac{d \rho}{dt} = 0$)，则$\nabla · V = 0$，即

$$ \begin{align*} % (\frac{\partial \rho}{\partial t} + V \nabla · \rho ) + \rho \nabla · V = 0 \\ \frac{d \rho}{dt} + \rho \nabla · V = 0 \end{align*} $$

$$ {\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y} + {\partial w \over \partial z} = 0 \\ $$

---

$$ \begin{align*} \mathbf{Div} &= ({\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y}) = -{\partial w \over \partial z} （散度）\\ \mathbf{a_w} &= {\partial w \over \partial t} \propto {\partial w \over \partial z} \\ \mathbf{a_w} &\propto -\mathbf{Div} \end{align*} $$

$\mathbf{Div}$与$\mathbf{a_w}$，互为异号

地表和对流层顶，$w = 0$

• $\mathbf{Div} > 0$，物质丢失，辐散；$\mathbf{a_w}$速度不断减小（如$-2m/s$到$-3m/s$）

  • 情况发生在地表($w = 0$)，向上速度减小，因此向上走$w$为负，下沉运动；
  • 中间层$w$不确定，要看辐散的强度

---

• $\mathbf{Div} < 0$，物质积累，辐合；$\mathbf{a_w}$速度不断增加（如$-2m/s$到$1m/s$）

  • 情况发生在地表($w = 0$)，向上速度变大，因此向上走$w$为正，上升运动；
  • 中间层$w$不确定，要看辐合的强度

不可压缩气体：

• z坐标中（$t, x, y, z$），$w = \frac{dz}{dt}$

• p坐标中（$t, x, y, p$）

  $$ {\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y} + {\partial \omega \over \partial p} = 0 $$

  $\omega = \frac{dp}{dt}$：p坐标中，垂直方向上的速度

  • $\omega < 0$，向上运动；
  • $\omega > 0$，向下运动。

热浪分析中的应用：

$\omega = \frac{dp}{dt}$

• 向上运动：$w > 0$，$\omega < 0$，辐合，降水
• 向下运动：$w < 0$，$\omega > 0$，辐散，高温干旱

2. 大气中的水汽

2.1. 大气可降水量

定义：单位面积上，整个大气柱中的水汽全部凝结，降落至地面的水量（单位$mm$）。

英文：Precipitable Water Vapor, Vertical Integrated Water Vapor

• 单位面积($A=1m^2$)，厚度为dz的湿空气块，其所具有的水量：

$$ \begin{align*} dW &= \rho_v A dz, (dp = - \rho g dz)\ &= -\frac{1}{g}\frac{\rho_v}{\rho} dp = -\frac{1}{g} q dp

\end{align*} $$

• 从地面（$z=0, p=P_s$）到高空（$z=z, p=P_t$），对其水汽含量进行积分：

$$ \begin{align*} W &= \int_{P_s}^{P_t} dW = -\frac{1}{g} \int_{P_s}^{P_t} q dp \\ % &= \frac{1}{g} \sum_{P_t}^{P_s} q dp \end{align*} $$

上述公式没有解析解，只能以离散的形式进行求解：

把大气划分为$n$个区间（$1$到$n+1$层）。

Recall: $S = \int{f(x) dx}$的求解方法

• 从第$i$层到第$i+1$层的水汽含量：

$$ \Delta W_i = \frac{1}{g} \frac{1}{2}(q_i + q_{i+1}) (p_i - p_{i+1}) \\ = \frac{1}{2g} (q_i + q_{i+1}) \Delta p_i $$

• 因此整层的大气可将水量：

$$ W = \sum_{i = 1}^{i=n} \Delta W_i = \frac{1}{2g} \sum_{i = 1}^{i=n} (q_i + q_{i+1}) \Delta p_i $$

大气可降水量 -> 潜在的大气河流

Gimeno, et al., 2012, Reviews of Geophysics

2.2. 单层水汽通量

定义：单位时间、单位面积，通过的水汽质量。

单位：$kg~m^{-2}s^{-1}$

• 通过的气体体积(V)：($\Delta P × \Delta L) × v \Delta t$
• 通过的水汽气体质量($m_v$): $m_v = m q = q \rho (\Delta P × \Delta L × v \Delta t)$

由于是单位面积、单位时间，因此$m_v$需要除以$A$和$\Delta t$，因此水汽通量:

$$ \begin{align*} f &= \frac{q \rho (\Delta P × \Delta L × v \Delta t)}{(\Delta P × \Delta L) \Delta t} = q \rho v % = - qv \frac{dp}{g dz} \end{align*} $$

可以根据$q v \rho$进一步验证$f$的单位：$kg~m^{-2}s^{-1}$，:grinning:。

$$ % p = \rho g h \\ % \rho (v / t) h = p \\ % \rho (v / t) = p /h \\ % Pa/m $$

2.3. 整层水汽通量

定义：单位时间、单位宽度，通过整层气柱的水汽质量，单位$kg~m^{-1}s^{-1}$。

单位：kg/(m·s)

$$ \begin{aligned} &F=\int_{z_s}^{z_t} q \rho v d z,(d p=-\rho g d z) \\ &=-\int_{p_s}^{p_t} q \rho v \frac{d p}{\rho g} % =-\int_{p_s}^{p_t} q v \frac{d p}{g} =-\frac{1}{g} \int_{p_s}^{p_t} q v d p \end{aligned} $$

与大气可降水量相比，整层水汽通量多乘了速度$v$。

2.4. 水汽通量散度

1. 水汽通量

$$ \begin{align*} f &= q \rho v \\ F &= -\frac{1}{g} \int_{p_s}^{p_t} q v d p \\ \end{align*} $$

2. 水汽通量散度

$$ \begin{align*} d &= \nabla_h (q \rho v) \ \mathbf{Div} &= -\int_{p_s}^{p_t} \nabla_h(q \rho v) \frac{d p}{\rho g} \ &= -\frac{1}{g} \int_{p_s}^{p_t} \nabla_h(q v) d p

\end{align*} $$

2. 水汽通量散度

$$ \begin{align*} d &= \nabla_h (q \rho v) \\ \mathbf{Div} &= -\frac{1}{g} \int_{p_s}^{p_t} \nabla_h(q v) d p \end{align*} $$

• $\mathbf{Div} &lt; 0$，进多出少（降水），辐合，气柱的水汽增加+ :

• $\mathbf{Div} &gt; 0$，进少出多（蒸发），辐散，气柱的水汽流失-

$\mathbf{Div}$可以类比径流。

Ma, 2022, GPC.

变量的单位：水汽通量散度

• $100 kg ~m^{-2} s^{-1}$转化为$mm/d$

• $1×10^{-6} g·cm^{-2}·s^{-1}·hPa^{-1}$转化为$mm/d$

  假设$850hPa$，可近似认为代表900hPa~800hPa的平均状态，即气压层厚度可以认为是100hPa。若该层的水汽通量散度为$1×10^{-6} g·cm^{-2}·s^{-1}·hPa^{-1}$，转化为$mm/d$大概是多少？

$$ \begin{align*} 10^{-6} g·cm^{-2}·s^{-1}·hPa^{-1} &=10^{-6}·10^{-3}~ kg · 10^{4} m^{-2}·s^{-1}·hPa^{-1} \\ &= 10^{-6} · 10 ~kg · m^{-2} · s^{-1}·hPa^{-1} \\ &= 0.864 ~kg · m^{-2} · d^{-1}·hPa^{-1} \\ &= 0.864 ~mm ~d^{-1} hPa^{-1} \end{align*} $$

然后乘气压层的厚度（如果认为dp = 100hPa），转化为mm约为$86.4mm/s$；

2.5. 水汽通量公式总结

a. 水汽含量

P = F/A, F = mg (力的单位N = kg m s-2，气压的单位Pa = N /m2 = kg m-1 s-2)

$dp/g$单位：$kg$，因此W的单位也是$kg/m^2$.

$$ \begin{align*} W &= \int_{P_s}^{P_t} dW = -\frac{1}{g} \int_{P_s}^{P_t} q dp \\ % &= \frac{1}{g} \sum_{P_t}^{P_s} q dp \end{align*} $$

b. 水汽通量

$$ \begin{aligned} &F=\int_{z_s}^{z_t} q \rho v d z,(d p=-\rho g d z) \\ &=-\int_{p_s}^{p_t} q \rho v \frac{d p}{\rho g} % =-\int_{p_s}^{p_t} q v \frac{d p}{g} =-\frac{1}{g} \int_{p_s}^{p_t} q v d p \end{aligned} $$

F的单位: $kg m/s / m^2$ = $kgm^{-1} s^{-1}$

c. 水汽通量散度

$$ \begin{align*} d &= \nabla_h (q \rho v) \\ \mathbf{Div} &= -\frac{1}{g} \int_{p_s}^{p_t} \nabla_h(q v) d p \end{align*} $$

$\mathbf{Div}$的单位: $kg s^{-1} / m^2$ = $kgm^{-2} s^{-1}$

2.5.1. 实战

• 大气河流（丁一汇）

• 2011-08-01河南暴雨

• 2021-07-21河南暴雨

2.6. 大气水量平衡

较难观测变量：$E$、$\Delta S$、$\Delta W$

• 地表水量平衡：

$$ \Delta S = P - E - R + RES_s $$

• 大气水汽平衡，降水水分丢失，蒸发水分补充

$$ \Delta W = -\mathbf{Div} - P + E + RES_w $$

其中$RES_s$为storage的残差项，如人类用水活动（生活、工业、农业、水利工程），以及模型的模拟误差；$RES_w$为vapor中的残差项，

两式相加可以得到：

$$

• R - \mathbf{Div} = \Delta W + \Delta S $$

上式提供了验证$E$的另一个思路。How？

1. 多年尺度，可以认为$\Delta S = 0$，$\Delta W = 0$，因此$\overline R = - \overline{\mathbf{Div}}$

   可以根据径流资料，判断哪个再分析资料的$\mathbf{Div}$质量比较好；

2. 根据水汽平衡，得出$E_{atm}$

$$ \begin{align*} E_{atm} &= \Delta W + \mathbf{Div} + P - RES_w \\ &≈ \mathbf{Div} + P \end{align*} $$

3. $E_{atm}$作为观测值，评估$E$模拟好坏

参考文献：

1. Ma, F., Yuan, X., & Li, H. (2022). Characteristics and circulation patterns for wet and dry compound day-night heat waves in mid-eastern China. Global and Planetary Change, 213, 103839.

2. Roads, J., Kanamitsu, M., & Stewart, R. (2002). CSE Water and Energy Budgets in the NCEP–DOE Reanalysis II. Journal of Hydrometeorology, 3(3), 227–248.

3. Lorenz, C., & Kunstmann, H. (2012). The Hydrological Cycle in Three State-of-the-Art Reanalyses: Intercomparison and Performance Analysis. Journal of Hydrometeorology, 13(5), 1397–1420.

4. 丁一汇, 柳艳菊, & 宋亚芳. (2020). 东亚夏季风水汽输送带及其对中国大暴雨与洪涝灾害的影响. 水科学进展, 31(5), 629–643.